Question

如图所示，在光滑水平地面上，静放着一质量m₁=0.2kg的绝缘平板小车，小车的右边处在以PQ为界的匀强电场中，电场强度E₁=1×10⁴V/m，小车上A点正处于电场的边界．质量m₂=0.1kg、带电量q=6×10^-5C的带正电小物块（可视为质点）置于A点，其与小车间的动摩擦因数μ=0.40（且最大静摩擦力与滑动摩擦力相等）．现给小物块一个v=6m/s向右的初速度．当小车速度减为零时，电场强度突然增强至，而后保持此值不变．若小物块不从小车上滑落，取g=10m/s²．试解答下列问题：
（1）小物块最远能向右走多远？
（2）小车、小物块的最终速度分别是多少？
（3）车的长度应满足什么条件？

Answer

（1）先分析小物块与小车的运动情况：小物块水平方向受向左的电场力与滑动摩擦力做减速运动，而小车受摩擦力向右做匀加速运动，当速度相等后，受力情况发生了变化，两者可能相对静止，也可能相对滑动．根据牛顿第二定律分别求出两者的加速度，由速度公式列式，求出相等的速度，再由牛顿第二定律分析速度相等后能否相对静止．运用运动学公式分段求出小物块运动的距离．即得到向右运动的总路程．
（2）先牛顿第二定律和运动学公式结合，求出物块冲出电场时，两者的速度大小，若不从小车上滑落，两者最终会达至共同速度，根据动量守恒求出共同速度．
（3）根据能量守恒求车的长度．
【解析】
（1）小物块水平方向受向左的电场力与滑动摩擦力做减速运动，而小车受摩擦力向右做匀加速运动．
设小车与小物块的加速度分别为a1、a2，由牛顿定律得：
对小物块 qE1+μm2g=m2a2

对于小车μm2g=m1a1

设经t1秒两者速度相同，则由vt=v-at得：
对小物块有：vt=6-10t1
对小车有：v't=2t1
由以上二式得：6-10t1=2t1
解得：t1=0.5（s），共同速度为：1m/s．
当两者达到共同速度后，受力情况发生了变化，其水平方向的受力如图所示：

若设两物体时只受电场力作用下一起做减速运动时其加速度为a3，
则由牛顿第二定律得：F=（m1+m2）a3

设两者间摩擦力达最大静摩擦，设小车及小物块做减速运动的加速度分别为a4、a5，则：

由于a3=a4=a5，故两者不会相对滑动，而是以2m/s2的共同加速度做减速运动，直至共同速度减为零
小物块第一段运动的位移
第二段运动的位移
故小物块向右运动最远的位移s=1.75m+0.25m=2m
（2）当小物块及小车的速度减为零后，其受力如图，由牛顿第二定律得：

小物块的加速度
此时小车的加速度
设小物块经t2秒冲出电场，此时小物块及小车速度分别为v3与v4．则：
对小物块∵
∴
对小物块
对小车
当小物块冲出电场后，若不从小车上滑落，两者最终会达至共同速度，设此速度为v5．
由系统动量守恒得：m2v3+m1v4=（m1+m2）v5

（3）设小车长为L，由系统能量守恒得：
 =
解得：L=3m
解法二：设小车向左运动直至与小物块达到共同速度前的总位移为s4，由于小车向左加速的加速度也始终为2m/s2，最终速度为，故：
设小物块出电场后向左运动，直至与小车达到共同速度前的位移为s6，设此过程中的加速度为a7．则：
因小物块向左加速运动2m后才冲出电场，故小物块向左运动的总位移s7为s7=s6+2=3+2=5（m）
由此可知小物块相对小车运动的位移为s7-s4=5m-2m=3m
即小车长度至少为3m
答：
（1）小物块最远能向右走2m．
（2）小车、小物块的最终速度分别是m/s，m/s．
（3）车的长度应为3m．