Question

某科学研究完成了下面的两个实验：
（1）当飞船停留在距X星球一定高度的P点时正对着X星球发射一个激光脉冲，经过时间t₁后收到返回来的信号，此时观察X星球的视角为θ，如图所示．
（2）当飞船在X星球表面着陆后，把一个弹射器固定在星球的表面上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的时间为t₂．已知用上述弹射器在地球上做同样的实验时，小球在空中运动的时间为t，又已知地球表面的重力加速度为g，万有引力常量G，光速为c，地球和X星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计，试根据以上信息，求：
①X星球的半径R；
②X星球的平均密度ρ
③X星球的第一宇宙速度V；
④在X星球发射的卫星的最小周期T．

Answer

①先计算P点到星球表面的最短距离为，根据直角三角形的知识可得，化简即可解得X星球的半径R．
②根据在X星球上以v初速度竖直上抛和在地球上以v初速度竖直上抛时的特点，可计算出该星球的表面重力加速度g．由在星球表面上的物体受到的重力等于万有引力，解得该星球的质量，而该星球的体积为V=，根据密度的定义ρ=，代入数据计算即可．
③第一宇宙速度就是贴近星球表面飞行时的线速度，根据重力提供向心力，得，代入数据化简即可解得v．
④当以第一宇宙速度v运行，卫星有最小周期T，根据公式化简即可．
【解析】
①飞船停留在距X星球一定高度的P点时正对着X星球发射一个激光脉冲，经过时间t1后收到返回来的信号，则P点到星球表面的最短距离为：．
根据几何图形，由直角三角形的知识可得
即：=R
解得：
②根据竖直上抛的特点：
在X星球上以v初速度竖直上抛时，
在地球上以v初速度竖直上抛时，
∴，
又由在星球表面上的物体受到的重力等于万有引力
所以，
而该星球的体积为V=
故ρ===
③第一宇宙速度就是贴近星球表面飞行时的线速度，此时重力等于万有引力，
根据万有引力提供向心力
∴
把R和的值代入得：

④当以第一宇宙速度v运行，卫星有最小周期T

答：①X星球的半径R为；
②X星球的平均密度ρ为
③X星球的第一宇宙速度V为；
④在X星球发射的卫星的最小周期T为．