Question

如图所示，N匝矩形金属线圈的质量为m，电阻为R，放在倾角为θ的光滑斜面上，其ab边长度为L且与斜面底边平行．与ab平行的两水平虚线MN、PQ之间，在t=0时刻加一变化的磁场，磁感应强度B大小随时间t的变化关系为B=Kt，方向垂直斜面向上．在t=0时刻将线圈由图中位置静止释放，在t=t₁时刻ab边进入磁场，t=t₂时刻ab边穿出磁场．线圈ab边刚进入磁场瞬间电流为0，穿出磁场前的瞬间线圈加速度为0．（重力加速度为g）求：

（1）MN、PQ之间的距离d；
（2）从t=0到t=t₁运动过程中线圈产生的热量Q；
（3）线圈的ab边在穿过磁场过程中克服安培力所做的功W．

Answer

（1）ab边进入磁场前，线圈做匀加速运动，由牛顿第二定律可以求出线圈的加速度，由匀变速运动的速度公式求出ab边进入磁场时的速度；由法拉第电磁定律求出由于磁场变化而产生的感应电动势，由E=BLv求出ab切割磁感线而产生的感应电动势，由题意知，这两个电动势的和电动势是零，据此求出磁场的宽度d．
（2）由欧姆定律求出感应电流，由焦耳定律求出焦耳热．
（3）线圈穿出磁场时的加速度为零，合力为零，求出此时线圈受到的安培力，由平衡条件求出线圈穿出磁场时的速度，然后由动能定理求出安培力所做的功．
【解析】
（1）线圈进入磁场前做匀加速运动，
由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma，a=gsinθ，
当t=t1时，线圈的速度：v1=at1=gsinθt1…①
由法拉第电磁感应定律得，由于磁场变化产生的感应电动势：
E1=N=NS=Ndl=NKld，
ab边切割磁感线产生的感应电动势：
E1′=NB1lv1=NKlgt12sinθ，
由题意可知瞬间电流为0，
则：E合=E1-E1′=0
即：NKdl=NKlgt12sinθ，
∴磁场宽度：d=gt12sinθ；
（2）由（1）可知：E1=NKld，感应电流：I==，
从t=0到t=t1运动过程中线圈产生的热量Q：
 ；
（3）当t=t2时，由题意知：mgsinθ-NB2I2L=0，
设ab边穿出磁场瞬间的速度为v2，
，
∴，
由动能定理：，
解得：；
答：（1）MN、PQ之间的距离为gt12sinθ；
（2）从t=0到t=t1运动过程中线圈产生的热量为；
（3）线圈的ab边在穿过磁场过程中克服安培力所做的功为mg2sin2θ．