Question

如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为l，导轨平面与水平面成θ角，下端通过导线连接的电阻为R．质量为m、阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并始终保持良好接触，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁场中．
（1）若金属棒距导轨下端距离为d，磁场随时间变化的规律如图（b）所示，为保持金属棒静止，求加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系．
（2）若所加磁场的磁感应强度大小恒为B′，通过额定功率P_m的小电动机对金属棒施加沿斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速直线运动，经过时间t₁电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变．金属棒运动的v-t图象如图（c）所示．求磁感应强度B′的大小．
（3）若金属棒处在某磁感应强度大小恒定的磁场中，运动达到稳定后的速度为v，在D位置（未标出）处突然撤去拉力，经过时间t₂棒到达最高点，然后沿轨道返回，在达到D位置前已经做匀速运动，其速度大小为，求棒在撤去拉力后所能上升的最大高度．

Answer

（1）为保持金属棒静止，金属棒受力必须平衡，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式推导出金属棒所受的安培力，根据平衡条件列式，可求出外力随时间变化的关系．
（2）由图c看出，金属棒运动的最大速度为v，此时金属棒做匀速运动，合力为零．由 Pm=F2•vm 求出拉力，根据平衡条件列式，即可求得磁感应强度B′的大小．
（3）金属棒先上滑后下滑，对于上滑的过程，根据牛顿第二定律得到加速度的表达式，采用微元法，得到速度变化量△v与时间△t的表达式，再对△v求和，得到最大距离s与v的关系式，再对下滑过程研究，匀速运动时合力为零，列式得出v的表达式，联立可求出最大高度．
【解析】
（1）金属棒沿斜面方向受力平衡，外力应沿斜面向上，设其大小为F1，则  
   F1-mgsinθ-B1Il=0
由图（b）可知，磁感应强度B的大小与t关系为B1=2t
回路中产生的感应电动势  ，S=l•d，
此时回路中的感应电流 
得 
（2）由图（c）可知，金属棒运动的最大速度为v，此时金属棒所受合力为零．
设金属棒此时所受拉力大小为F2，流过棒中的电流为Im，则 
 Em=B´lv
 Pm=F2•vm   
得 
解得 
（3）设磁感应强度为B，棒沿斜面向上运动时，mgsinθ+BIl=ma得

取极短时间△t，速度微小变化为△v，△v=a△t，△s=v△t
得
在上升的全过程中，
即
又下滑到匀速时有 
由上两式得
上升的高度
答：
（1）加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系是F1=mgsinθ+4；
（2）磁感应强度B′的大小为；
（3）棒在撤去拉力后所能上升的最大高度是．