Question

如图所示，水平传送带AB长L=4.5m，质量为M=1kg的木块随传送带一起以v₁=1m/s的速度向右匀速运动（传送带的传送速度恒定），木块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5．当木块运动到传送带的最右端A点时，一颗质量为m=20g的子弹以v=300m/s水平向左的速度正好射入木块并穿出，穿出速度u=50m/s，以后每隔1s就有一颗子弹射向木块，并从木块中穿出，设子弹穿过木块的时间极短，且每次射入点各不相同，g取10m/s²，求：
（1）在被第二颗子弹击中前木块向右运动到离A点多远处？
（2）木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中？
（3）第一颗子弹射穿木块时，从射中木块到木块相对传送带静止的过程中，木块和传送带摩擦时产生的热能是多少？

Answer

（1）根据动量守恒定律求出第一颗子弹击中木块后，木块的速度大小，木块在传送带上先向左做匀减速运动，当速度减为零后再向右做匀加速运动直至与传送带同速．根据运动学公式求出木块与传送带保持相对静止所需的时间等于子弹射出的时间间隔，根据动能定理求出在被第二颗子弹击中前木块向右运动到离A点的距离．
（2）求出木块减速到零相对于地面运行的位移，结合每次子弹击中木块后，木块相对于地面运行的距离和AB的长度求出最多能被几颗子弹击中．
（3）根据运动学公式求出第一颗子弹射穿木块时，从射中木块到木块相对传送带静止的过程中，木块与传送带的相对位移，结合Q=f△x求出木块和传送带摩擦时产生的热能．
【解析】
（1）第一颗子弹击中过程中，设子弹射穿木块后，木块的速度为v2，子弹射穿木块的过程中动量守恒
mv-Mv1=mu+Mv2
解得：v2=4m/s．
木块在传送带上先向左做匀减速运动，当速度减为零后再向右做匀加速运动直至与传送带同速．设此过程中木块运动的时间为t、对地的位移为S1．以向右方向为正方向，则
f=μMg=Ma                                  
v1-（-v2）=at                                
解得                     
由动能定理得：
解得．
故在被第二颗子弹击中前木块向右运动到离A点1.5米处．
（2）设木块在传送带上向左做匀减速运动，在速度减为零的过程中运动对地运动的位移为S2，由动能定理得

由于s2=1.6m故第三次子弹射穿木块后，木块将从传送带的左端滑下．
木块在传送带上最多能被3颗子弹击中．           
（3）设木块在传送带上向左做匀减速运动的时间为t1，此过程中传送带的位移为S3，木块再向右做匀加速运动直至与传送带同速过程中，木块向右运动的时间为t2，位移为S4，传送带的位移为S5，则
0-（-v2）=at1                                   
解得                          
s3=v1t1=1×0.8=0.8m                              
t2=t-t1=1-0.8=0.2s                            
．
s5=v1t2=1×0.2m=0.2m                            
因而子弹穿过木块后，设木块与传送带间发生的相对位移为△x，则
△x=s2+s3+（s5-s4）=2.5m．
则木块和传送带摩擦时产生的热能
Q=f△x=μMg△x=12.5J．
答：（1）在被第二颗子弹击中前木块向右运动到离A点1.5m．
（2）木块在传送带上最多能被3颗子弹击中．
（3）第一颗子弹射穿木块时，从射中木块到木块相对传送带静止的过程中，木块和传送带摩擦时产生的热能是12.5J．