Question

相距L=0.8m的足够长金属导轨的左侧为水平轨道，右侧为倾角37°的倾斜轨道，金属棒ab和金属棒cd分别水平地放在两侧的轨道上，如图（a）所示，两金属棒的质量均为1.0kg．水平轨道位于竖直向下的匀强磁场中，倾斜轨道位于沿斜面向下的匀强磁场中，两个磁场的磁感应强度大小相等．ab、cd棒与轨道间的动摩擦因数为μ=0.5，两棒的总电阻为R=1.5Ω，导轨电阻不计．ab棒在水平向左、大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，由静止开始沿水平轨道做匀加速运动，同时cd棒也由静止释放．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²）

（1）求两个磁场的磁感应强度B的大小和ab棒的加速度a₁的大小；
（2）已知在2s内外力F做功为18J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；
（3）写出cd棒运动的加速度a₂（m/s²）随时间t（s）变化的函数式a₂（t），并求出cd棒达到最大速度所需的时间t；
（4）请在图（c）中画出cd棒受到的摩擦力f_cd随时间变化的图象．

Answer

（1）ab棒做加速运动，根据牛顿第二定律列式，得到外力F与加速度的表达式，结合图象的信息，求出B和加速度；
（2）ab棒做匀加速运动，由运动学v=at求出2s末的速度，由公式s=at2求出2s内的位移，运用能量守恒定律求解两金属棒产生的总焦耳热；
（3）根据牛顿第二定律得到cd棒的加速度表达式，即可分析何时加速度最大，并求出时间．
（4）分析cd棒的受力情况，由公式f=μN求出摩擦力的表达式，从而作出图象．
【解析】
（1）根据牛顿第二定律得：
ab棒：F-μmg-FA=m1a1
其中安培力FA=BIL=
对ab棒有：m1a1=F-μmg-FA，
结合图象的信息，将t=0时，F=6N、FA=0 代入，可求得a1=1m/s2
a1为定值，则=1.5，
将L=0.8m、R=1.5Ω、a1=1m/s2代入上式，可求得B=1.875T
（2）2s末，ab棒的速度υt=a1t=2m/s，位移s=a1t2=2m
对ab棒，由能量守恒得
    WF=mυt2+μm1gs+Q，
可解得Q=6J
（3）对cd棒有m2gsin37°-μ（m2gcos37°+FA）=m2a2，
其中FA=BIL=
可得a2=2-0.75t
a2=0时cd棒的速度最大，此时t=2.67s
（4）cd棒受到的摩擦力fcd=μ（m2gcos37°+FA）=4+0.75t
作出fcd随时间变化的图象如图所示．
答：
（1）两个磁场的磁感应强度B的大小为1.875T，ab棒的加速度a1的大小为1m/s2；
（2）这一过程中两金属棒产生的总焦耳热是6J；
（3）cd棒运动的加速度a2（m/s2）随时间t（s）变化的函数式a2（t）为a2=2-0.75t，cd棒达到最大速度所需的时间t为t=2.67s．
（4）在图（c）中画出cd棒受到的摩擦力fcd随时间变化的图象如图所示．