Question

如图（a）所示，水平面上有两根很长的平行导轨，间距为L，导轨间有竖直方向等距离间隔的匀强磁场B₁和B₂，B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．导轨上有矩形金属框abcd，其总电阻为R，质量为m，框的宽度ab与磁场间隔相同．开始时，金属框静止不动，当两匀强磁场同时以速度v₁沿直导轨匀速向左运动时，金属框也会随之开始沿直导轨运动，同时受到水平向右、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度．求：
（1）金属框所达到的恒定速度v₂
（2）金属框以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功
（3）当金属框达到恒定速度后，为了维持它的运动，磁场必须提供的功率
（4）若t=0时匀强磁场B₁和B₂同时由静止开始沿直导轨向左做匀加速直线运动，经过较短时间后，金属框也做匀加速直线运动，其v-t关系如图（b）所示，已知在时刻t金属框的瞬时速度大小为v_t，求金属框做匀加速直线运动时的加速度大小．

Answer

由于磁场的运动使得线框中的磁通量发生变化，电路中产生感应电流，而感应电流在磁场中又受到安掊力作用，线框在安培力和阻力作用下做加速运动，当运动稳定时，线框受到的安培力和阻力平衡，据此列式可以求得线框稳定后的速度，求得线框稳定后的速度后，据P=FV可以求得线框所受阻力的瞬时功率（即单位时间内克服阻力所做的功），当金属框达到稳定速度后，为了维持它的运动，一是要克服阻力做功，二是由于线框电阻的存在电流要做功，磁场必须提供的功率等于克服阻力做功的功率加线框上的热功率，当线框匀加速运动时，可以判断磁场的加速度和线框相同，线框受安培力和阻力作用，由此根据受力分析列牛顿第二定律方程可以求得线框的加速度．
【解析】
（1）由于磁场以速度v1向右运动，当金属框稳定后以最大速度v2向右运动，此时金属框相对于磁场的运动速度为v1-v2，
根据右手定则可以判断回路中产生的感应电动势E等于ad、bc边分别产生感应电动势之和，即E=2BL（v1-v2）
根据欧姆定律可得，此时金属框中产生的感应电流I=
金属框的两条边ad和bc都受到安培力作用，由题意知，ad和bc边处于的磁场方向相反，电流方向也相反，故它们所受安培力方向一致，
故金属框受到的安培力大小
F=2BIL=
当金属框速度最大时，安培力与摩擦力平衡，即满足
由此解得：金属框达到的恒定速度v2=
（2）因为阻力恒为f，单位时间内阻力所做的功即为阻力做功的功率
所以
（3）当金属框达到稳定速度后，电路中消耗的电功率
==
据能量守恒，磁场提供的功率P=P电+Pf=+=fv1
（4）因为线框在运动过程中受到安培力和阻力作用，合力产生加速度，根据牛顿第二定律有：
F-f=ma，即        ①
线框做匀加速直线运动，加速度a恒定，故有（v1-v2）为一定值，即线框的加速度与磁场的加速度相等，
即v1=at，代入①式得：

解得：a=
答：（1）金属框所达到的恒定速度v2=
（2）金属框以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功为
（3）当金属框达到恒定速度后，为了维持它的运动，磁场必须提供的功率P=fv1
（4）求金属框做匀加速直线运动时的加速度大小a=．