Question

如图所示，有界匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界，磁场中放置一半径为R的圆柱形金属圆筒，圆心O到MN的距离OO₁=2R，圆筒轴线与磁场平行．圆筒用导线通过一个电阻r接地，最初金属圆筒不带电．现有范围足够大的平行电子束以速度v从很远处沿垂直于左边界MN向右射入磁场区，已知电子质量为m，电量为e．
（1）若电子初速度满足，则在最初圆筒上没有带电时，能够打到圆筒上的电子对应MN边界上O₁两侧的范围是多大？
（2）当圆筒上电量达到相对稳定时，测量得到通过电阻r的电流恒为I，忽略运动电子间的相互作用，求此时金属圆筒的电势φ和电子到达圆筒时速度v（取无穷远处或大地电势为零）．
（3）在（2）的情况下，求金属圆筒的发热功率．

Answer

（1）由牛顿第二定律可求得粒子的转动半径，画出粒子的运动轨迹可得出几何关系，从而确定出到圆筒上的电子对应MN边界上O1两侧的范围；
（2）由欧姆定律可求得圆柱体与地面间的电势差，则可求得金属圆桶的电势；由动能定理可求得电子射到圆柱表面时的速度；
（3）由电流的微观定义可求得电子数，则可求得电子具有的总能量，由能量守恒可求得圆筒上的发热功率．
【解析】
（1）如图所示，设电子进入磁场回旋轨道半径为r，则     解得   r=3R   
大量电子从MN上不同点进入磁场轨迹如图，从O1上方P点射入的电子刚好擦过圆筒   

同理可得到O1下Q点距离．
（2）稳定时，圆柱体上电荷不再增加，与地面电势差恒为U，
U=Ir
电势 φ=-Ir   
电子从很远处射到圆柱表面时速度为v，有  
解得  ．
（3）电流为I，单位时间到达圆筒的电子数  
电子所具有总能量       
消耗在电阻上的功率  Pr=I2r    
所以圆筒发热功率   ′．