Question

如图（a）所示，在真空中，半径为b的虚线所围的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向与纸面垂直．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离也为b，板长为2b，两板的中心线O₁O₂与磁场区域的圆心O在同一直线上，两板左端与O₁也在同一直线上．有一电荷量为+q、质量为m的带电粒子，以速率v从圆周上的P点沿垂直于半径OO₁并指向圆心O的方向进入磁场，当从圆周上的O₁点飞出磁场时，给M、N板加上如图（b）所示电压u．最后粒子刚好以平行于N板的速度，从N板的边缘飞出．不计平行金属板两端的边缘效应及粒子所受的重力．
（1）求磁场的磁感应强度B；
（2）求交变电压的周期T和电压U的值；
（3）若t=时，将该粒子从MN板右侧沿板的中心线O₂O₁，仍以速率v射入M、N之间，求粒子从磁场中射出的点到P点的距离．

Answer

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，用牛顿第二定律可求出磁场的大小，用左手定则可判知磁场的方向．
（2）粒子进入电场后将做复杂的曲线运动，但在水平方向上是匀速直线运动，在竖直方向上是周期性的偏转运动，竖直方向的位移是，应用周期性的偏转位移进行求解．
（3）当t=粒子以速度v沿O2O1射入电场时，粒子要向上偏转，最后从M板的右端进入磁场，做出偏转的轨迹图，利用几何关系可判知磁场中射出的点到P点的距离．
【解析】

（1）粒子自P点进入磁场向右偏转，从O1点水平飞出磁场，运动的半径必为b，如图一所示：洛伦兹力提供向心力，有：

解得：
由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外．
（2）粒子自O1点进入电场，做变加速曲线运动，最后恰好从N板的边缘平行飞出（如图二所示），设运动时间为t，则水平方向上有：
2b=vt 
在竖直方向上有：

t=nT（n=1，2，…） 
解得  （n=1，2，…） 
（n=1，2，…） 
（3）当t=粒子以速度v沿O2O1射入电场时，则该粒子恰好从M板边缘以平行于极板的速度射入磁场（如图三所示），且进入磁场的速度仍为v，运动的轨道半径仍为b．
设进入磁场的点为Q，离开磁场的点为R，圆心为O3，如图所示，四边形OQ O3R是菱形，故O R∥QO3． 
所以P、O、R三点共线，即POR为圆的直径．即PR间的距离为2b．
答：（1）求磁场的磁感应强度为，方向垂直纸面向外．
（2）交变电压的周期T为（n=1，2，…）
电压U为（n=1，2，…），
（3）粒子从磁场中射出的点到P点的距离为2b．