Question

如图，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成θ角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m、电阻都为R，回路中其余电阻不计．整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也作匀速运动．已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30°，g取10m/s²，不计两导棒间的相互作用力．
（1）为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过多大？
（2）若a在平行于导轨向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿导轨向上运动，试导出F与b的速率v₂的函数关系式并求出v₂的最大值；
（3）在（2）中，当t=2s时，b的速度达到5.06m/s，2s内回路中产生的焦耳热为13.2J，求该2s内力F做的功（结果保留三位有效数字）．

Answer

（1）要使b棒能下滑，则安培力大于重力的下滑分量；
（2）根据切割公式求解出b的切割电动势，然后求解出安培力，在对a棒受力分析，根据平衡条件列方程求拉力F的表达式；再对b棒受力分析，根据平衡条件求解最大速度；
（3）先对棒b运用动量定理列式并结合微元法列式，然后求和解出位移；最后再对两个棒系统运用功能关系列式求解．
【解析】
（1）设a的速度为v1，由于b初态速度为零，则  I=     ①
对b：         ②
FA＜mgsinθ  ③
将①②式代入③式得：v1＜10m/s  ④
（2）设a的速度为v1，b的速度为v2，回路电流为I，
则：   ⑤
对a：mgsinθ+FA=F
即mgsinθ+  ⑥
代入数据得：F=3+  
设b的最大速度为vm，则有：
代入数据得：vm=8m/s
（3）对b：mgsinθ-FA=ma   
即mgsinθ-
取任意无限小△t时间：
代入数据并求和得：8∑△t-∑△x2=2∑△v2   
即8t-x2=2v2  
将t=2s，v2=5.06m/s代入上式得：x2=5.88m   
a的位移：x1=v1t=2×2=4m
由功能关系知：

代入数据得：WF=14.9J 
答：（1）为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过10m/s；
（2）F与b的速率v2的函数关系式为F=3+，v2的最大值为8m/s；
（3）在2s内力F做的功为14.9J．