Question

如图所示，光滑水平面上静止放置着一辆平板车A．车上有两个小滑块B和C（都可视为质点），B与车板之间的动摩擦因数为μ，而C与车板之间的动摩擦因数为2μ，开始时B、C分别从车板的左、右两端同时以大小相同的初速度v相向滑行．经过一段时间，C、A的速度达到相等，此时C和B恰好发生碰撞．已知C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，A、B、C三者的质量都相等，重力加速度为g．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力．
（1）求开始运动到C、A的速度达到相等时的时间；
（2）求平板车平板总长度；
（3）已知滑块C最后没有脱离平板，求滑块C最后与车达到相对静止时处于平板上的位置．

Answer

（1）根据动量定理分别对C、A研究，求出开始运动到C、A的速度达到相等时的时间．
（2）由动量定理求出C和B发生碰撞时B的速度，用平均速度分别求出从开始到C、B碰撞的过程C、B的位移大小，两者之和等于平板车平板总长度；
（3）C和B发生碰撞时两者交换速度．根据牛顿第二定律运动整体法和隔离法判断是否相对静止．再根据动能定理分别研究C、A的位移，由几何关系求出滑块C在车板上运动的总位移，确定C最后与车达到相对静止时处于平板上的位置．
【解析】

（1）设A、B、C三个物体的质量都为m，从开始到C、A的速度达到相等的过程所用时间为t，C、A相等的速度为vC，根据动量定理得
 对C：-2μmgt=mvC-mv
 对A：（2μmg-μmg）t=mvC
联立解得，t=，vC=
（2）对B，由动量定理得，
-μmgt=mvB-mv
得到，vB=
对C：，
对B：
平板车平板总长度L=xB+xC
解得，L=
（3）对A：=，A、B、C三者的位移和末速度分别为：，方向向左；
，方向向右；，方向向左．
，方向向左；，方向向右．C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，则碰撞后C和B的速度各为：vC′=，方向向右，，方向向左．
碰撞后B和A的速度相等，设B和A保持相对静止一起运动，此时对B和A整体有fC=2μmg=2ma
对B：B受到的摩擦力为fB′=ma=μmg，说明B和A保持相对静止一起运动．
设C最后停在车板上时，共同速度为v，由动量守恒定律得
  mvC′-2mvB′=2mv
可得，v=0
对这一过程，对C，由动能定理得
-2μmgSC′=0-
对B和A整体，由动能定理得
-2μmgSA′=0-
解得，C和A的位移分别是
  SC′=，向右，SA′=，向左．
则C先相对于车板向左移动x1=xC-xA=，后相对于车板向右移动S=SC′-SA′=，恰好回到原来的位置，即滑块C最后停在车板的右端．
答：
（1）开始运动到C、A的速度达到相等时的时间为t=；
（2）平板车平板总长度L=；
（3）滑块C最后停在车板的右端．