Question

如图，在竖直面内的坐标系xoy中，x轴上方存在竖直向下的匀强电场，电场强度 E=12N/C，在x轴下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=2T，一带电量为q=+3×10^-4c、质量为m=3.6×10^-4kg的小球，从（1m，0.5m）处以初速度v沿x轴负方向抛出，刚好经坐标原点与x轴成45°，沿切线方向进入图中半径为R₁=m的光滑圆弧轨道Ⅰ，再次经 x轴沿切线方向进入半径为R₂=m，的光滑圆弧轨道Ⅱ，求：（g取10m/s²）

（1）小球抛出时的初速度；
（2）小球到达轨道Ⅰ的最低点时对轨道的压力；
（3）若小球从从第一象限某位置沿x轴负向抛出后均能通过坐标原点沿切线方向进入轨道Ⅰ，再沿轨道Ⅱ外侧到达最高点，求小球抛出的所有可能位置．

Answer

（1）小球 在第一象限受到重力和电场力作用做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合求初速度；
（2）小球进入光滑圆弧轨道Ⅰ做圆周运动，经过轨道最低点时，由洛伦兹力、轨道的支持力和重力的合力提供向心力，先根据动能定理研究从抛出到最低点的过程，求出经过最低点时的速度，再由牛顿第二定律求轨道对小球的支持力，由牛顿第三定律得到小球对轨道的压力；
（3）小球达坐标原点时的速度偏向角为45°，小球抛出点的位置必在方程上．分两种情况讨论：
（Ⅰ）设小球从（x2，y2）处以初速度v01抛出，达轨道Ⅱ最高点的速度为零；
（Ⅱ）设小球从（x3，y3）处以初速度v02抛出，达轨道Ⅱ最高点的最大速度为v2；
根据动能定理和类平抛运动的规律结合，求出小球抛出的所有可能位置．
【解析】
（1）由题意知：Eq=mg=3.6×10-3N，则：
由得  t=s  
由x1=vt  得   m/s
（2）设小球到达轨道Ⅰ最底点的速度为v1，所受支持力为FN，洛化兹力为FB，则：

代入数据得：v1=8m/s
在轨道Ⅰ的最低点，有
代入数据得 FN=1.27×10-2N
即此时小球对轨道Ⅰ的压力为1.27×10-2N
（3）因小球达坐标原点时的速度偏向角为45°，则小球的位移偏向角正切值为0.5，即小球抛出点的位置必在方程上．
（Ⅰ）设小球从（x2，y2）处以初速度v01抛出，达轨道Ⅱ最高点的速度为零，则：

代入数据并化简得：
由：
   得：20t2=v01
由上两式得：s 
           （m/s）
故：（m）
（Ⅱ）设小球从（x3，y3）处以初速度v02抛出，达轨道Ⅱ最高点的最大速度为v2，则：

代入数据并化简得：
得：s  
   m/s  
则得 m
由此可知：要让小球到达轨道Ⅱ的最高点，小球抛出的位置在上，
区间为3m≤x≤m
答：
（1）小球抛出时的初速度是2m；
（2）小球对轨道Ⅰ的压力为4.56×10-3N；
（3）要让小球到达轨道Ⅱ的最高点，小球抛出的位置在上，区间为3m≤x≤m．