Question

如图所示，一个质量为m的长木板静止在光滑的水平面上，并与半径为R的光滑圆弧形固定轨道接触（但不粘连），木板的右端到竖直墙的距离为S；另一质量为2m的小滑块从轨道的最高点由静止开始下滑，从圆弧的最低点A滑上木板．设长木板每次与竖直墙的碰撞时间极短且无机械能损失．已知滑块与长木板间的动摩擦因数为μ．试求
（1）滑块到达A点时对轨道的压力的大小
（2）若滑块不会滑离长木板，试讨论长木板与墙第一次碰撞前的速度v与S的关系
（3）若S足够大，为了使滑块不滑离长木板，板长L应满足什么条件．

Answer

（1）滑块下滑过程机械能守恒，先根据守恒定律求解A点速度；再A点重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解支持力；最后根据牛顿第三定律求解压力；
（2）先假设S足够大，最后滑块与木板有共同速度，根据动量守恒定律求解出共同速度；然后对木板运用动能定理列式求解木板滑动的距离；
最后分情况讨论；
（3）滑块最终和长木板一起静止在地面上，根据功能关系列式求解．
【解析】
（1）滑块从轨道的最高点到最低点，机械能守恒，设到达A点的速度为vA
则 ①
得：②
在A点有：③
由②③得：NA=6mg④
由牛顿第三定律，滑块在A点对轨道的压力 ⑤
（2）若第一次碰撞前的瞬间，滑块与木板达到共同速度v，
则：（2m+m）v=2mvA⑥
⑦
由②⑥⑦得：⑧
ⅰ．若，则木板与墙第一次碰前瞬间的速度为⑨
ⅱ．若，则木板与墙第一次碰前瞬间的速度为v'
则：⑩
得：v'=
（3）因为S足够大，每次碰前滑块与木板共速；因为M＜m，每次碰后系统的总动量方向向右，要使滑块不滑离长木板，最终木板停在墙边，滑块停在木板上．
由能量守恒得：
解得：
答：（1）滑块到达A点时对轨道的压力的大小为6mg；
（2）长木板与墙第一次碰撞前的速度v与S的关系：
若，则木板与墙第一次碰前瞬间的速度为；
若，木板与墙第一次碰前瞬间的速度为v'=；
（3）若S足够大，为了使滑块不滑离长木板，板长L应满足的条件．