Question

如图所示，在方向竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场中，有两条固定光滑的平行金属导轨MN、PQ，导轨足够长，间距为L，其电阻不计，导轨平面与磁场垂直．ab、cd为两根垂直于导轨水平放置的金属棒，其接入回路中的电阻均为R．质量均为 m．与金属导轨平行的水平细线一端固定，另一端与cd棒的中点连接，细线能承受的 最大拉力为T，一开始细线处于伸直状态．ab棒在平行导轨的水平拉力的作用下由静止开始以加速度a向右做匀加速直线运动，两根金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨相垂直．
（1）求经多长时间细线被拉断？
（2）若在细线被拉断瞬间撤去拉力，试说明在以后的过程中，ab与cd捧的运动情况．
（3）求细线被拉断后，回路中共产生多少电热？cd棒消耗的电能多大？

Answer

（1）ab棒向右做匀加速运动进，穿过回路abcd的磁通量增大，回路中产生感应电动势和感应电流，cd受到向右的安培力作用，当安培力大小等于细线的最大拉力时，细线被拉断．根据 E=BLv、I=、F=BIL，v=at，推导出安培力F的表达式，根据根据F=T，即可求得t；
（2）在细线被拉断瞬间撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右开始做加速运动，cd切割磁感线产生感应电动势，回路中总的感应电动势将减小，感应电流减小，则ab做加速度逐渐减小的减速运动，cd做加速度逐渐减小的加速运动，最终两者以共同速度v′做匀速直线运动．
（3）根据系统动量守恒求得两棒匀速运动时的速度，根据能量守恒求解回路总共产生的电热．cd棒消耗的电能等于增加的动能与产生的热量之和．
【解析】
（1）设绳被拉断时回路中的电流为I，设拉断时棒ab中电动势为E，速度为v，运动时间为t，则
   E=BLv 
  I=
  v=at 
cd棒所受的安培力为 F=BIL，
联立解得，F=
细线即将拉断时，对cd有：T=F
解得：t=  
（2）在细线被拉断瞬间撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右开始做加速运动，cd切割磁感线产生感应电动势，回路中总的感应电动势将减小，感应电流减小，ab做加速度逐渐减小的减速运动，cd做加速度逐渐减小的加速运动，最终两者以共同速度v′做匀速直线运动．
故两杆做加速度逐渐减小的减速运动，cd做加速度逐渐减小的加速运动，最终两者以相同的速度做匀速直线运动．
（3）设两棒匀速运动时的相同速度为v′，据动量守恒得：
  mv=2mv′
线断后回路中产生的热能
  QB=-
得：QB=
cd棒消耗的电能
  Ecd耗=△Ekcd+Qcd
而△Ekcd=-0
  Qcd=
解得：Ecd耗=
答：
（1）经时间细线被拉断．
（2）若在细线被拉断瞬间撤去拉力，ab做加速度逐渐减小的减速运动，cd做加速度逐渐减小的加速运动，最终两者以共同速度v‘做匀速直线运动．
（3）细线被拉断后，回路中共产生电热，cd棒消耗的电能为．