Question

如图甲所示，真空中两水平放置的平行金属板C、D上分别开有正对的小孔O₁和O₂，两板接在交流电源上，两板间的电压u_CD随时间t变化的图线如图乙所示．从t=0时刻开始，从C板小孔O₁处连续不断飘入质量m=3.2×10^-25kg、电荷量q=1.6×10^-19C的带正电的粒子（飘入速度很小，可忽略不计）．在D板上方有以MN为水平上边界的匀强磁场，MN与D板的距离d=10cm，匀强磁场的磁感应强度为B=0.10T，方向垂直纸面向里，粒子受到的重力及粒子间的相互作用力均可忽略不计，平行金属板C、D之间距离足够小，粒子在两板间的运动时间可忽略不计．求（保留两位有效数字）：

（1）在C、D两板间电压U=9.0V时飘入小孔O₁的带电粒子进入磁场后的运动半径；
（2）从t=0到t=4.0×10^-2s时间内飘入小孔O₁的粒子能飞出磁场边界MN的飘入时间范围；
（3）磁场边界MN上有粒子射出的范围的长度．

Answer

（1）粒子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，根据动能定理与牛顿第二定律，即可求解；
（2）粒子恰能飞出磁场边界，根据牛顿第二定律与动能定理，可求出电压；根据图象可求出对应的时刻；
（3）粒子速度越大在有界磁场中的偏转量越小，根据动能定理与牛顿第二定律，可求出相对小孔向左偏移的最小距离，从而可确定磁场边界MN有粒子射出的长度范围．
【解析】
（1）设C、D两板间电压U=9.0V时带电粒子从小孔O2进入磁场的速度为v，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，
根据动能定理，有：
由牛顿第二定律，则有，
解得：R=6.0cm
（2）如图1所示，带电粒子轨迹与MN相切时，恰好飞出磁场，此时粒子运动半径R1=d
设恰能飞出磁场边界MN的带电粒子在电场中运动时CD两板间的电压为U1，从小孔O2进入磁场时的速度为v1，
根据牛顿第二定律和动能定理有

解得：U1=25V
由于粒子带正电，因此只有在C板电势高于D板电势（uCD为正值）时才能被加速进入磁场，
根据图象可得UCD=25 V的对应时刻分别为
t1=0.50×10-2s 
t2=1.5×10-2s
则粒子在0到4.0×10-2 s内能飞出磁场边界的飘入时间范围为0.50×10-2s～1.5×10-2s
（3）粒子速度越大在有界磁场中的偏转量越小．设粒子在磁场中运动的最大速度为vm，对应的运动半径为Rm，
粒子运动轨迹如图2所示，
依据动能定理和牛顿第二定律有

粒子飞出磁场边界时相对小孔向左偏移的最小距离
粒子射出磁场区域的最左端时粒子运动轨迹与MN相切处，
即粒子向左偏移距离x2=d
则磁场边界MN有粒子射出的长度范围△x=x2-x1=d-x1
解得△x=5.9cm
答：（1）在C、D两板间电压U=9.0V时飘入小孔O1的带电粒子进入磁场后的运动半径6.0cm；
（2）从t=0到t=4.0×10-2s时间内飘入小孔O1的粒子能飞出磁场边界MN的飘入时间范围0.50×10-2s～1.5×10-2s；
（3）磁场边界MN上有粒子射出的范围的长度5.9cm．