Question

如图1所示，两根间距为l₁的平行导轨PQ和MN处于同一水平面内，左端连接一阻值为R的电阻，导轨平面处于竖直向上的匀强磁场中．一质量为m、横截面为正方形的导体棒CD垂直于导轨放置，棒到导轨左端PM的距离为l₂，导体棒与导轨接触良好，不计导轨和导体棒的电阻．

（1）若CD棒固定，已知磁感应强度B的变化率随时间t的变化关系式为，求回路中感应电流的有效值I；
（2）若CD棒不固定，棒与导轨间最大静摩擦力为f_m，磁感应强度B随时间t变
化的关系式为B=kt．求从t=0到CD棒刚要运动，电阻R上产生的焦耳热Q；
（3）若CD棒不固定，不计CD棒与导轨间的摩擦；磁场不随时间变化，磁感应强度为B．现对CD棒施加水平向右的外力F，使CD棒由静止开始向右以加速度a做匀加速直线运动．请在图2中定性画出外力F随时间t变化的图象，并求经过时间t，外力F的冲量大小I．

Answer

（1）已知磁感应强度B的变化率，由法拉第电磁感应定律求得感应电动势瞬时表达式，由欧姆定律求得感应电流瞬时表达式，得到感应电流的最大值Im．由于交变电流是正弦式的，所以感应电流的有效值I=Im．
（2）当磁感应强度B随时间t变化的关系式为B=kt，回路中产生恒定的感应电流，CD棒所受的安培力均匀增大，当安培力等于最大静摩擦力时，棒刚要运动．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得到安培力与时间的关系式，由安培力等于最大静摩擦力求出时间，由焦耳定律求Q．
（3）先推导出安培力与时间的关系式，根据牛顿第二定律外力F与时间的关系式，作出图象，图象的“面积”等于外力的冲量，即可由几何知识求得冲量I．
【解析】
（1）根据法拉第电磁感应定律
回路中的感应电动势
所以，电动势的最大值 Em=kl1l2
由闭合电路欧姆定律
由于交变电流是正弦式的，所以感应电流的有效值I=Im
解得，
（2）根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势
根据闭合电路欧姆定律
CD杆受到的安培力
当CD杆将要开始运动时，满足：FA=fm
由上式解得：CD棒运动之前，产生电流的时间
所以，在时间t内回路中产生的焦耳热Q=I2Rt=fml2
（3）CD棒切割磁感线产生的感应电动势E=Bl1v
时刻t的感应电流
CD棒在加速过程中，根据由牛顿第二定律 F-BIl1=ma
解得：
根据上式，可得到外力F随时间变化的图象如图所示，由图象面积可知：经过时间t，外力F的冲量I

解得：

答：
（1）回路中感应电流的有效值I为；
（2）从t=0到CD棒刚要运动，电阻R上产生的焦耳热Q为fml2；
（3）在图2中定性画出外力F随时间t变化的图象如图所示，经过时间t，外力F的冲量大小I为+mat．