Question

如图1所示，M、N为竖直放置的平行金属板，两板间所加电压为U，S₁、S₂为板上正对的小孔．金属板P和Q水平放置在N板右侧，关于小孔S₁、S₂所在直线对称，两板的长度和两板间的距离均为l；距金属板P和Q右边缘l处有一荧光屏，荧光屏垂直于金属板P和Q；取屏上与S₁、S₂共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴．M板左侧电子枪发射出的电子经小孔S₁进入M、N两板间．电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略．不计电子重力和电子之间的相互作用．
（1）求电子到达小孔S₂时的速度大小v；
（2）若板P、Q间只存在垂直于纸面向外的匀强磁场，电子刚好经过P板的右边缘后，打在荧光屏上．求磁场的磁感应强度大小B和电子打在荧光屏上的位置坐标x；
（3）若金属板P和Q间只存在电场，P、Q两板间电压u随时间t的变化关系如图2所示，单位时间内从小孔S₁进入的电子个数为N．电子打在荧光屏上形成一条亮线．忽略电场变化产生的磁场；可以认为每个电子在板P和Q间运动过程中，两板间的电压恒定．
a．试分析在一个周期（即2t时间）内单位长度亮线上的电子个数是否相同．
b．若在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同，求2t时间内打到单位长度亮线上的电子个数n；若不相同，试通过计算说明电子在荧光屏上的分布规律．

Answer

（1）电子在加速电场中，电场力做正功，根据动能定理求电子到达小孔S2时的速度大小v；
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律求磁感应强度B．电子离开磁场后做匀速运动，由几何关系求x；
（3）电子在电场中做类平抛运动，运用运动的分解，由牛顿第二定律和运动学公式结合求得离开电场时偏转的距离x1．电子在偏转电场外做匀速直线运动，也运用运动的分解求出电子打在荧光屏上的位置坐标x．对于有电子穿过P、Q间的时间内进行讨论，在任意△t时间内，P、Q间电压变化△u相等，在任意△t时间内，亮线长度△x相等．所以在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同．
根据电子在P、Q电场中的侧移量，求出偏转电压u，再求出电子打在荧光屏上的最大侧移量，求出亮线的长度，即可求得单位长度亮线上的电子数．
【解析】
（1）根据动能定理解得：  ①
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，设圆运动半径为 R，
在磁场中运动轨迹如图1，由几何关系
解得：
根据牛顿第二定律：
解得：
设圆弧所对圆心为α，满足：
由此可知：
电子离开磁场后做匀速运动，满足几何关系：
通过上式解得坐标
（3）a．设电子在偏转电场PQ中的运动时间为t1，PQ间的电压为u
垂直电场方向：l=vt1②
平行电场方向：  ③
此过程中电子的加速度大小   ④
①、②、③、④联立得：
电子出偏转电场时，在x方向的速度vx=at1  ⑤
电子在偏转电场外做匀速直线运动，设经时间t2到达荧光屏．则
  水平方向：l=vt2  ⑥
  竖直方向：x2=vxt2  ⑦
①、⑤、⑥、⑦联立，解得：电子打在荧光屏上的位置坐标 ⑧
对于有电子穿过P、Q间的时间内进行讨论：

由图2可知，在任意△t时间内，P、Q间电压变化△u相等．
由⑧式可知，打在荧光屏上的电子形成的亮线长度．
所以，在任意△t时间内，亮线长度△x相等．
由题意可知，在任意△t时间内，射出的电子个数是相同的．
也就是说，在任意△t时间内，射出的电子都分布在相等的亮线长度△x范围内．
因此，在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同．
b．现讨论2t时间内，打到单位长度亮线上的电子个数：
当电子在P、Q电场中的侧移量x1=时，由得：u=2U
当偏转电压在0～±2U之间时，射入P、Q间的电子可打在荧光屏上．
由图2可知，一个周期内电子能从P、Q电场射出的时间
所以，一个周期内打在荧光屏上的电子数
由⑧式，电子打在荧光屏上的最大侧移量
亮线长度L=2xm=3l
所以，从0～2t时间内，单位长度亮线上的电子数
答：
（1）电子到达小孔S2时的速度大小v为；
（2）磁场的磁感应强度大小B是，电子打在荧光屏上的位置坐标x为；
（3）从0～2t时间内，单位长度亮线上的电子数n为．