Question

如图所示，两条间距为L的光滑平行导电导轨MN、PQ与水平面成θ角放置，上端跨接定值电阻R，一长也为L、电阻不计的金属棒搁在导轨上，在导轨所在处有三个匀强磁场区和一个无磁场区，磁场边界均平行于金属棒，磁场宽均为L，磁场方向如图且均垂直于导轨平面，磁感应强度B₂=2B₁，无磁场区宽也为L，金属棒从导轨上方距最上方的磁场的上边界L处静止起下滑，进入最上方磁场时恰好做匀速运动，且每次到达一个磁场的下边界前都已达到匀速运动，图中已画出金属棒穿过第一个磁场区过程中的电流（以a→b为正方向）随下滑距离x变化的图象，请画出金属棒穿过后两个磁场区过程中的电流随下滑距离x变化的图象．

Answer

在0到L段匀速运动，金属棒受力平衡，可以得到电流表达式．
L到2L段，由于磁场强度增大一倍，金属棒受的安培力大于重力向下的分力，故金属棒做匀减速直线运动．由公式可知其大小为0到L段的两倍．
由电磁感应可以求的L到2L的平均感应电动势，由电功表达式可以求得这段位移的电功，再由能量守恒可以求得这段位移的电流与位移成反比．
又在L到2L的下边界又变成匀速运动，可知在下边界的电流与0到L段的电流相等．所以可以做出L到2L的I-L图象．
2L到3L这段没有磁场，故没有电流
3L到4这段同理可以得到图象．
【解析】

（1）在0到L段匀速运动，金属棒受力平衡：B1I1L=G1
可以得到电流表达式：
L到2L段，感应电流为：
安培力为：
又由：B2I2v=4G1
得：
由右手定则知电流方向与I1方向相反，
在这段位移X2内产生的平均动生电动势为：

产生的电热为：
Q=U2I2t
=B2△XI2L
又由能量守恒知，这段位移内能量转化为：重力势能转化为电热．
mgh=B2△XI2L
整理得到：

可知这段位移内电流与位移成反比，初始电流为4A，方向与I1方向相反．
又题目告知：到达下边界金属棒达到匀速，说明在下边界安培力等于G1，则在下边界的电流为2A．
故这段时间内的图象如图．

（2）2L到3L这段无磁场，故电流为零．

（3）与0到L段同理，可知3L到4L这段位移内的电流和位移的关系也是反比，末电流也是2A，方向与I1方向相同．
其初始速度应为它经2L到3L这段无磁场区加速后的速度：
v=v+gsinθ•t
由于平均速度比v大，而初始区域的平均速度为：，故其时间应该小于在初始区域的运动时间的一半，两者加速度相等，都是gsinθ，故其速度的增加应小初速度的．即其初速度应小于2.5v．
又由，可知感应电流与速度成正比，所以在这段位移的初始电流应小于2.5A．故图象的起始点应在电流为2.5A稍下方．
则这段图象如图．

综上可以得到最终的I--X图象如图：