Question

如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ所在平面与水平面成30°角，两导轨的间距l=0.50m，一端接有阻值R=1.0Ω的电阻．质量m=0.10kg的金属棒ab置于导轨上，与轨道垂直，电阻r=0.25Ω．整个装置处于磁感应强度B=1.0T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下．t=0时刻，对金属棒施加一平行于导轨向上的外力F，使之由静止开始运动，运动过程中电路中的电流随时间t变化的关系如图乙所示．电路中其他部分电阻忽略
不计，g取10m/s²，求：
（1）4.0s末金属棒ab瞬时速度的大小；
（2）3.0s末力F的瞬时功率；
（3）已知0～4.0s时间内电阻R上产生的热量为0.64J，试计算F对金属棒所做的功

Answer

（1）由导体棒切割磁感线产生感应电动势公式求出感应电动势，由闭合电路的欧姆定律求出电路电流，由图象求出4s末电路电流值，然后求出金属棒的速度．
（2）根据感应电流表达式及图象判断导体棒的运动性质，求出导体棒的加速度，由牛顿第二定律及安培力公式求出3s末导体棒的速度，然后由公式P=Fv求出力F的瞬时功率；
（3）由串联电路特点及焦耳定律求出导体棒产生的热量，求出整个电路产生的热量，克服安培力做的功转化为焦耳热；然后由动能定理求出力F对金属棒做的功．
【解析】
（1）导体棒切割磁感线产生感应电动势：E=Blv，
由闭合电路的欧姆定律可得，电路电流：I==，
由图乙可得：t=4.0s时，I=0.8A，即：==0.8A，
解得：v=2m/s；
（2）由于B、l、R、r是定值，由I=可知，I与v成正比，
由图乙可知，电流I与时间t成正比，由此可知，速度v与时间t成正比，
由此可知，导体棒做初速度为零的匀加速直线运动，
4.0s内金属棒的加速度a===0.5m/s2，
对金属棒由牛顿第二定律得：F-mgsin30°-F安=ma，
由图乙所示图象可知，t=3s时I=0.6A，此时F安=BIl=1T×0.6A×0.5m=0.3N，
则3s末，拉力F=mgsin30°+F安+ma=0.85N，
t=3s时I=0.6A，由I=可知，t=3s时，棒的速度v=1.5m/s，
3.0s末力F的瞬时功率P=Fv=0.85N×1.5m/s=1.275W；
（3）通过R与r的电流I相等，由焦耳定律得：
====，则Qr=QR=×0.64J=0.16J，
在该过程中电路中产生的总热量为：Q总=Qr+QR=0.8J，
在导体棒运动的过程中，克服安培力做的功转化为焦耳热，
因此在该过程中，安培力做的功W安=-Q总=-0.8J，
对金属棒，在0～4.0s内，导体棒的位移：
x=at2=×0.5m/s2×（4s）2=4m，
重力做的功WG=-mgxsin30°=-0.1kg×10m/s2×4m×=-2J，
t=4s时，v=2m/s，由动能定理得：
WF+W安+WG=mv2-0，
解得，F对金属棒所做的功：WF=3.64J；
答：（1）4.0s末金属棒ab瞬时速度的是2m/s．
（2）3.0s末力F的瞬时功率是1.275W．
（3）0～4.0s时间内F对金属棒所做的功是3.64J．