Question

图（甲）所示，一对金属板M和N平行、竖直放置，M、N的中心分别有小孔P、Q，PQ连线垂直金属板．N板右侧有一半径为r的圆形有界的匀强磁场，其圆心O在PQ的延长线上，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B．置于P孔附近的粒子源连续不断地沿PQ方向放射出质量为m、电量为+q的带电粒子（带电粒子所受的重力、初速度及粒子间的相互作用力可忽略），从某一时刻开始，在板M、N间加上如图（乙）所示的交变电压，其周期为T、电压为U，t=0时M板电势高于N板电势．已知带电粒子在M、N两板间一直做加速运动的时间小于T/2，并且只有在每一个周期的前T/4时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，求：
（1）带电粒子从小孔Q中射出的最大速度；
（2）M、N两板间的距离；
（3）在沿圆形磁场的边界上，有带电粒子射出的最大弧长．

Answer

（1）只有在M、N间电场中一直加速的粒子从Q孔射出时的速度才最大，加速电压为U，根据动能定理求解最大速度；
（2）由于电压是周期性变化的，由题：只有在每一个周期的前T时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，所以每一个周期的第一个时刻放出的带电粒子刚好能从小孔Q中射出，加速和减速分别经历了T时间，到达Q孔的速度恰好为零．根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解M、N两板间的距离；
（3）由题意：每一个周期的前时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越小．粒子进入磁场，其中速度越小的粒子运动半径越小，射出点离射入点越近，偏转角度越大（越接近π）．最早射入者速度最大，运动半径最大，偏转角度最小，射出点与入射点所夹弧长最大．根据牛顿第二定律和几何知识结合求出以最大速度射入时在磁场中的偏转角为θ，再求最大弧长．
【解析】
（1）在M、N电场间处于一直加速的粒子从小孔Q中射出的速度最大，设从最大速度为vm
根据动能定理得 qU=m
解得：vm=  
（2）设M、N两板间距离为d，则两板间的电场强度大小 E=，
设粒子运动的加速度为a，根据牛顿第二定律得 qE=ma
解得：a=
每一个周期的第一个时刻放出的带电粒子刚好能从小孔Q中射出，它加速和减速各经历，
由d=
解得：d=
（3）每一个周期的前时间内放出的带电粒子才能从小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越小．粒子进入磁场，其中速度越小者运动半径越小，射出点离射入点越近，偏转角度越大（越接近π）．最早射入者速度最大，运动半径最大，偏转角度最小，射出点与入射点所夹弧长最大．
设带电粒子以最大速度射入时在磁场中的运动半径为R，偏转角为θ，由牛顿第二定律和几何关系得
 Bqv=m
 tan=
解得：θ=2arctanBr
设沿圆形磁场边界上有带电粒子射出的最大弧长为s（图中实线部分），根据弧长公式
s=r（π-θ）=r（π-2arctanBr）
答：
（1）带电粒子从小孔Q中射出的最大速度为；
（2）M、N两板间的距离为；
（3）在沿圆形磁场的边界上，有带电粒子射出的最大弧长为r（π-2arctanBr）．