Question

如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度v，如果环在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知F=kv（k为常数，v为速度），试讨论环在运动过程中克服摩擦力所做的功．（假设杆足够长）

Answer

根据受力分析确定环的运动情况，当环受到合力向下时，随着环做减速运动向上的拉力逐渐减小，环将最终静止，当环所受合力向上时，随着环速度的减小，竖直向上的拉力逐渐减小，当环向上的拉力减至和重力大小相等时，此时环受合力为0，杆不再给环阻力环将保持此时速度不变做匀速直线运动，当环在竖直方向所受合力为0时，环将一直匀速直线运动，分三种情况对环使用动能定理求出阻力对环做的功即可．
【解析】
根据题意有对于小环的运动，根据环受竖直向上的拉力F与重力mg的大小分以下三种情况讨论：
（1）当mg=kv时，即v=时，环做匀速运动，Wf=0，环克服摩擦力所做的功为零  
（2）当mg＞kv时，即v＜时，环在运动过程中做减速运动，直至静止．由动能定理得环克服摩擦力所做的功为Wf=m
（3）当mg＜kv时，即v＞时，环在运动过程中先做减速运动，当速度减小至满足mg=kv时，即v=时环开始做匀速运动．由动能定理得摩擦力做的功
Wf=
环克服摩擦力所做的功为
答：环在运动过程中克服摩擦力所做的功为：
（1）v=时，环做匀速运动，Wf=0，环克服摩擦力所做的功为零  
（2）v＜时，环克服摩擦力所做的功为Wf=m
（3）v＞时，环克服摩擦力所做的功为