Question

有一倾角为θ的斜面，其底端固定一挡板M，另有三个木块A、B和C，它们的质量分别为m_A=m_B=m，m_C=3m，它们与斜面间的动摩擦因数都相同．其中木块A放于斜面上并通过一轻弹簧与挡板M相连，如图所示．开始时，木块A静止在P处，弹簧处于自然伸长状态．木块B在Q点以初速度v向下运动，P、Q间的距离为L．已知木块B在下滑过程中做匀速直线运动，与木块A相撞后立刻一起向下运动，但不粘连．它们到达一个最低点后又向上运动，木块B向上运动恰好能回到Q点．若木块A仍静放于P点，木块C从Q点处开始以初速度向下运动，经历同样过程，最后木块C停在斜面的R点，求：
（1）木块B与A相撞后瞬间的速度v₁．
（2）弹簧第一次被压缩时获得的最大弹性势能Ep．
（3）P、R间的距离L′的大小．

Answer

（1）木块B下滑做匀速直线运动，有mgsinθ=μmgcosθ①，碰撞前后动量守恒，根据动量守恒定律即可求解；
（2）在木块压缩弹簧的过程中，重力对木块所做的功与摩擦力对木块所做的功大小相等，因此弹簧被压缩而具有的最大弹性势能等于开始压缩时两木块的总动能．
（3）分析两木块的运动情况，根据动能定理及动量守恒定律列式即可求解．
【解析】
（1）木块B下滑做匀速直线运动，有mgsinθ=μmgcosθ①
B和A相撞前后，总动量守恒，mv=2mv1，所以 ②
（2）由①式可知在木块压缩弹簧的过程中，重力对木块所做的功与摩擦力对木块所做的功大小相等，
因此弹簧被压缩而具有的最大弹性势能等于开始压缩时两木块的总动能．
EP=mv2
（3）设两木块向下压缩弹簧的最大长度为S，两木块被弹簧弹回到P点时的速度为V2，则③
两木块在P点处分开后，木块B上滑到Q点的过程：④
木块C与A碰撞前后，总动量守恒，3mv=4mv′1
解得：v  ⑤
设木块C和A压缩弹簧的最大长度为S'，两木块被弹簧回到P点时的速度为V'2，则⑥
木块C与A在P点处分开后，木块C上滑到R点的过程：⑦
∵木块B和A压弹簧的初动能
木块C和A压缩弹簧的初动能
即Ek1=Ek2，因此弹簧前后两次的最大压缩量相等，即S=S'⑧
联立①至⑧式，解得⑨
答：（1）木块B与A相撞后瞬间的速度为．
（2）弹簧第一次被压缩时获得的最大弹性势能为mv2．
（3）P、R间的距离L′的大小为．