Question

如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点，求：
（1）推力对小球所做的功．
（2）x取何值时，使质点完成BC段运动后落回水平面，水平恒力所做的功最少？最小功为多少？

Answer

（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做匀加速直线，当到达B点撤去恒力，让其在沿光滑半圆轨道运动到C处后，又正好落回A点．因小球离开C点后做平抛运动，已知高度与水平位移的情况下，可求出小球在C处的速度大小，选取从A到C过程，由动能定理可求出推力对小球所做的功．
（2）力F做功越小，小球到达B点的速度越小，到达最高点C的速度越小，当小球恰好到达C点时，由重力充当向心力，此时C点的速度最小，力F做功最小．先由牛顿第二定律求出小球通过C点的最小速度，根据（1）问的结果求出x，即可得到最小功；
【解析】
（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为vC，质点从C点运动到A点所用的时间为t，在水平方向x=vCt
竖直方向上2R=gt2，
解①②式有vC=
对质点从A到C由动能定理有WF-mg•2R=mvC2 
解WF= 
（2）要使力F做功最少，确定x的取值，由WF=2mgR+mvC2知，只要质点在C点速度最小，则功WF就最小，就是物理极值．
若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有
mg=，则v=
当x=vt=×2=2R时，
WF最小，最小的功WF=mgR．
答：（1）推力对小球所做的功为．
（2）x取2R时，使质点完成BC段运动后落回水平面，水平恒力所做的功最少，最小功为mgR．