Question

4个相同的木块，每块的质量都是m，每块均可以看作质点，放置在倾角为θ的斜面上，相邻两木块间的距离为l，最下端的木块距底端也是l，木块与斜面间的动摩擦因数为μ，如图所示，在开始时刻，第一个木块以初速度v沿斜面下滑，其余所有木块都静止．由于第一个木块的下滑将依次引起一系列的碰撞，每次发生碰撞时间都很短，在发生碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动，直到最后第4个木块到达斜面底端时，刚好停在底端．求：
（1）第一次碰撞前第一个木块的动能E₁．
（2）第一次碰撞时系统损失的机械能△E₁．
（3）在整个过程中由于碰撞而损失的总机械能△E．

Answer

（1）对第一个木块下滑的过程中，由动能定理可求出碰撞前第一个木块的动能E1．
（2）由动量守恒可求出木块1碰撞后的速度大小；碰撞前因摩擦力做功，导致小木块机械能损失；再求出碰撞后小木块动能的减小导致机械能损失；从而两者之和即为从第一个小木块开始运动到第一次碰撞后系统损失的机械能；
（3）通过力做功表达式求出碰撞整个过程中，重力、摩擦力做功；再根据功能关系可求出在碰撞中总机械能损失．
【解析】
（1）对第一个木块下滑的过程中，由动能定理得
    mglsinθ-μmglcosθ=E1-mv2
即   E1=mglsinθ-μmglcosθ+mv2
（2）第一个木块与第二个木块碰撞过程中，由动量守恒定律近似得
  mv1=2mv1′，即v1′=v1                 
E1′=×2mv1′2，
则得△E1=E1-E1′=E1=（mglsinθ-μmglcosθ+mv2）               
（3）由总能量守恒可得：
  mglsinθ+2mglsinθ+3mglsinθ+4mglsinθ+mv2=△E+μmglcosθ+2μmglcosθ+3μmglcosθ+4μmglcosθ 
即△E=10mgl（sinθ-μcosθ）+mv2．
答：
（1）第一次碰撞前第一个木块的动能E1是mglsinθ-μmglcosθ+mv2．
（2）第一次碰撞时系统损失的机械能△E1是（mglsinθ-μmglcosθ+mv2）．
（3）在整个过程中由于碰撞而损失的总机械能△E是10mgl（sinθ-μcosθ）+mv2．