Question

如图所示，火箭栽着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器．火箭从地面起飞时，以加速度竖直向上做匀加速直线运动（g为地面附近的重力加速度），已知地球半径为R．
（1）到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的，求此时火箭离地面的高度h．
（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T，试问：该行星的平均密度为多少？（假定行星为球体，且已知万有引力恒量为G）

Answer

1、以测试仪器为研究对象，根据牛顿第二定律求出某一高度处的重力加速度，再由重力等于万有引力，代入数据求解火箭离地面的高度．
2、现根据万有引力提供向心力，求出行星的质量，再根据密度的定义式，计算密度．
【解析】
（1）火箭刚起飞时，以测试仪为研究对象，受地球引力mg、平台的支持力N1，有：

根据牛顿第三定律，起飞时测试仪器对平台的压力大小为．
设火箭离地高为h时，平台对测试仪器的支持力为N2，则有：，其中G为万有引力恒量，M为地球质量．
在地面附近，有：
则：
于是得到：
（2）设行星质量为M，行星平均密度为ρ，
又有：
得：．
答（1）到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的，此时火箭离地面的高度h为．
（2）探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T，则该行星的平均密度为．