Question

如图所示，光滑圆弧轨道与光滑斜面在B点平滑连接，圆弧半径为R=0.4m，一半径很小、质量为m=0.2kg的小球从光滑斜面上A点由静止释放，恰好能通过圆弧轨道最高点D．求：
（1）小球最初自由释放位置A离最低点C的高度h；
（2）小球运动到C点时对轨道的压力N的大小；
（3）若斜面倾斜角与图中θ相等，均为53°，小球从离开D点至第一次落回到斜面上运动了多长时间？

Answer

（1）小球恰好能通过圆弧轨道最高点D，说明此时恰好是物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得在D点的速度大小，从A到D的过程中，物体的机械能守恒，从而可以求得小球释放时离最低点的高度．
（2）在C点时，对物体受力分析，重力和支持力的合力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛顿第三定律可以知道对轨道压力的大小．
（3）离开D点小球做平抛运动，根据水平方向的匀速直线运动，竖直方向上的自由落体运动可以求得小球运动的时间．
【解析】
（1）在D点时，设小球的速度为vD，
  mg=m 
∴vD=2m/s
由A运动到D点，由机械能守恒可得
  mg（h-2R）=mvD2
∴h=1m
所以小球最初自由释放位置A离最低点C的高度h是1m．
（2）由A运动到C点，由机械能守恒可得
  mgh=mvC2
在C点，由牛顿第二定律和向心力公式可得
  FN-mg=m 
∴FN=12N
由牛顿第三定律可知，小球运动到C点时对轨道的压力N的大小是12N．
（3）设撞到斜面上E点离B点的距离为x，飞行时间为t，由平抛运动规律可得
水平方向  Rsin53°+xcos53°=vDt
竖直方向  R+Rcos53°-xsin53°=gt2
由上面两式解得  t=s≈0.27s．
所以小球从离开D点至第一次落回到斜面上运动的时间是0.27s．