Question

如图所示，M、N是竖直正对放置的两个平行金属板，S₁、S₂是M、N板上的两个小孔；N板的右侧有一个在竖直面内，以O为圆心的圆形区域，该区域内存在垂直圆面向外的匀强磁场，另有一个同样以O为圆心的半圆形荧光屏AO’C；已知S₁、S₂、O和荧光屏的中间位置O’在同一直线上，且AC⊥S₁O’．当在M、N板间加恒定电压U时，一带正电离子在S₁处由静止开始加速向S₂孔运动，最后打在图示的荧光屏上的P处，∠COP=30°．若要让上述带电离子（不计重力）仍在S₁处静止开始加速，最后打在图示的荧光屏下边缘C处，求M、N板间所加电压的大小．

Answer

离子先在电场中加速，后进入磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力充当向心力．当加速电压为U，离子打在图示的荧光屏上的P处，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律和动能定理得到电压U与半径、比荷、磁感应强度等量的关系式；当离子打在图示的荧光屏下边缘C处时，用同样的方法，求得加速电压．
【解析】
设离子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度为B、所在区域的半径为R，离子加速后获得的速度为v
当电压为U时，由动能定理有 qU=  ①
在磁场中，离子做匀速圆周运动（见右图）
由牛顿第二定律可知 qvB=m ②
由①②式得 U= ③
其中，r=Rtan60°=R ④
当电压为U′时，离子打在C处
同理有U′= ⑤
其中，r′=R ⑥
由③④⑤⑥可解得U′=U
答：M、N板间所加电压的大小为U．