Question

如图甲所示，空间存在着一个范围足够大的竖直向下的匀强磁场，磁场的磁感强度大小为B．边长为l的正方形金属框abcd（下简称方框）放在光滑的水平地面上，其外侧套着一个与方框边长相同的U形金属框架MNPQ（下简称U形框），U形框与方框之间接触良好且无摩擦．两个金属框每条边的质量均为m，每条边的电阻均为r．
（1）将方框固定不动，用力拉动U形框使它以速度v垂直NP边向右匀速运动，当U形框的MQ端滑至方框的最右侧（如图乙所示）时，方框上的bc两端的电势差为多大？此时方框的热功率为多大？
（2）若方框不固定，给U形框垂直NP边向右的初速度v，如果U形框恰好不能与方框分离，则在这一过程中两框架上产生的总热量为多少？
（3）若方框不固定，给U形框垂直NP边向右的初速度v（v＞v），U形框最终将与方框分离．如果从U形框和方框不再接触开始，经过时间t方框最右侧和U形框最左侧距离为s．求两金属框分离后的速度各多大．

Answer

（1）U型框向右做切割磁感线运动，由E=BLv、欧姆定律求感应电流的大小．NP相当于电源，bc与ad组成一个并联的外电路，即可由欧姆定律和公式P=求方框的热功率．
（2）若方框不固定，方框也向右运动，先做加速度减小的加速运动，U形框恰好不能与方框分离，两者速度相等而后做匀速运动，整体所受的合力为零，根据动量守恒求出共同速度，再由能量守恒求热量．
（3）从U形框和方框不再接触，两者都做匀速运动．设分离时，U形框速度为v1，方框速度为v2，根据动量守恒和运动学公式列式求两金属框分离后的速度．
【解析】
（1）U形框右边产生感应电动势：E=BLv0 ①
方框总电阻：  ②
总电流： ③
bc两端电势差：U=IR ④
由以上各式解得： ⑤
方框热功率： ⑥
（2）U形框恰好不能与方框分离，两者速度相等，设共同速度为v，由动量守恒定律，有：3mv=（3m+4m）v ⑦
据能量转化与守恒，可知：  ⑧
解得： ⑨
（3）设分离时，U形框速度为v1，方框速度为v2，由动量守恒可知：3mv=3mv1+4mv2 ⑩
 从U形框和方框不再接触后，都做匀速运动，则有  s=v1t-v2t （11）
解得：  （12）
    （13）
答：
（1）方框上的bc两端的电势差为，此时方框的热功率为．
（2）这一过程中两框架上产生的总热量为．
（3）两金属框分离后的速度分别为+，-．