Question

如图所示，光滑水平面上，质量为2m的小球B连接着轻质弹簧、处于静止状态；质量为m的小球A以速度v向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B运动，过一段时间后，A与弹簧分离．设小球A、B与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内．
（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E．
（2）若开始时在小球B的右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在小球A与弹簧分离前使小球B与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设小球B与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变、但方向相反．设此后弹簧性势能的最大值为E_m，求E_m可能值的范围．

Answer

（1）当A、B速度相同时，弹簧被压缩到最短，弹簧的势能最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出弹簧的最大弹性势能．
（2）对B球与挡板碰撞前瞬间和B与挡板碰后反弹，当A、B速度相等两个过程运用动量守恒定律，通过能量守恒求出最大弹性势能与B速度的表达式．通过对B速度最大值的范围得出弹簧弹性势能最大值的范围．
【解析】
（1）当A球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A、B速度相同时，弹簧的势能最大．
设A、B的共同速度为v，弹簧的最大势能为E，则A、B系统动量守恒：mv=（m+2m）v①
由机械能守恒：m=（m+2m）v2+E…②
联立两式得：E=m…③
（2）设B球与挡板碰撞前瞬间的速度为vB，此时A的速度为vA．
系统动量守恒：mv=mvA+2mvB…④
B与挡板碰后，以vB向左运动，压缩弹簧，当A、B速度相同（设为v共）时，弹簧势能最大，为Em，
则：mvA-2mvB=3mv共…⑤
m═×3m+Em…⑥
由④⑤两式得：v共=代入⑥式，化简得：Em=[-（vB-）2+]…⑦
而当弹簧恢复原长时相碰，vB有最大值vBm，则：
mv=mvA′+2mvBm          
mv2=mvA′2+×2mvBm2
联立以上两式得：vBm=v即vB的取值范围为：0＜VB≤v…⑧
结合⑦式可得：当vB=时，Em有最大值为：m…⑨
当vB=v时，Em有最小值为：m
答：（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能是m．
（2）此后弹簧的弹性势能最大值的范围为[m，m]．