Question

如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α=30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B的匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m，电阻为R．两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中R₂为一电阻箱，已知灯泡的电阻R_L=4R，定值电阻R₁=2R，调节电阻箱使R₂=12R，重力加速度为g，闭合开关S，现将金属棒由静止释放，求：
（1）金属棒下滑的最大速度v_m；
（2）当金属棒下滑距离为s时速度恰好达到最大，则金属棒由静止开始下滑2s的过程中，整个电路产生的电热；
（3）改变电阻箱R₂的阻值，当R₂为何值时，金属棒匀速下滑时R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率为多少？

Answer

（1）金属棒ab先加速下滑，加速度减小，后匀速下滑，速度达到最大．由欧姆定律、感应电动势和安培力公式推导出安培力的表达式，根据平衡条件求解最大速度．
（2）金属棒由静止开始下滑2s的过程中，重力和安培力对棒做功，棒的重力势能减小转化为棒的动能和电路的内能，根据能量守恒列式可求出整个电路中产生的总电热．
（3）金属棒匀速下滑时受力平衡，根据平衡条件得到通过ab棒的电流，根据欧姆定律得到通过R2的电流，由公式得到功率与电阻的关系式，运用数学知识求极值，并确定出条件．
【解析】
（1）当金属棒匀速下滑时速度最大，达到最大时有
    mgsinα=F安…①
又  F安=BIL…②
   I=…③
其中R总=R+R1+=6R…④
联立①-④式得金属棒下滑的最大速度…⑤
（2）根据能量转化和守恒得：
     ⑥
再将⑤式代入上式得 
（3）金属棒匀速下滑时
  mgsinα=BIL
则得 I=…⑦
R2消耗的功率…⑧
由分流原理得：通过电阻箱R2的I2==…⑨
联立⑦～⑨式得
则得

当，即R2=4R时，R2消耗的功率最大
故R2消耗的最大功率为：
答：
（1）金属棒下滑的最大速度vm是．
（2）金属棒由静止开始下滑2s的过程中，整个电路产生的电热是mgs-；
（3）改变电阻箱R2的阻值，当R2为何值时，金属棒匀速下滑时R2消耗的功率最大；消耗的最大功率为．