Question

如图所示，两条光滑的绝缘导轨，导轨的水平部分与圆弧部分平滑连接，两导轨间距为L，导轨的水平部分有n段相同的匀强磁场区域（图中的虚线范围），磁场方向竖直向上，磁场的磁感应强度为B，磁场的宽度为S，相邻磁场区域的间距也为S，S大于L，磁场左、右两边界均与导轨垂直．现有一质量为m，电阻为r，边长为L的正方形金属框，由圆弧导轨上某高度处静止释放，金属框滑上水平导轨，在水平导轨上滑行一段时间进入磁场区域，最终线框恰好完全通过n段磁场区域．地球表面处的重力加速度为g，感应电流的磁场可以忽略不计，求：
（1）刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度．
（2）整个过程中金属框内产生的电热．
（3）金属框完全进入第k（k＜n）段磁场区域前的时刻，金属框中的电功率．

Answer

（1）金属框从光滑导轨下滑的过程中，机械能守恒，要求高度，关键要求出金属框在进入第一段匀强磁场区域前的速度v，可根据法拉第定律、欧姆定律和动量定理，对线框进入第一段、第二段、第三段…磁场区域列式，再累计求和，即可求出v，再根据机械能守恒求解高度．
（2）金属框穿过第（k-1）个磁场区域后和完全进入第k个磁场区域的过程中，由动量定理求得速度，即可求出电功率．
【解析】
（1）设金属框在进入第一段匀强磁场区域前的速度为v，金属框在进入和穿出第一段匀强磁场区域的过程中，线框中产生平均感应电动势为

平均电流强度为（不考虑电流方向变化）
由动量定理得：

同理可得：

…
整个过程累计得：
解得：
金属框沿斜面下滑机械能守恒：
解得 
（2）金属框中产生的热量Q=mgh，
解得  Q=
（3）金属框穿过第（k-1）个磁场区域后，由动量定理得：
金属框完全进入第k个磁场区域的过程中，由动量定理得：-=mvk′-mvk-1
解得：vk′=
金属框中的电功率：
答：
（1）刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度是．
（2）整个过程中金属框内产生的电热是．
（3）金属框完全进入第k（k＜n）段磁场区域前的时刻，金属框中的电功率是．