Question

如图所示，长度为L=0.9m、质量为m=1kg的木板Q放在粗糙的水平面上，Q的上表面和两个半径为R=0.2m的光滑圆弧轨道底端相切，已知两圆弧最底端之间的距离为d=1.0m．质量也为m=1kg的小滑块P从左侧圆弧最高点（和圆心A、B等高）以竖直向下的初速度v=m/s开始下滑，小滑块恰不能冲出右侧的圆弧，在此过程中小滑块P和木板Q未共速，Q到右（左）圆弧底端与右（左）壁相碰后便停止运动不反弹，重力加速度为g=10m/s²，求：
（1）P、Q之间的动摩擦因数；
（2）此过程中水平面对Q的摩擦力所做的功；
（3）P最终停止位置到右圆弧底端的距离．

Answer

（1）根据动能定理分别求出P在左圆弧最底端的速度和右圆弧最底端的速度，对P在Q上滑动运用动能定理求出P、Q之间的动摩擦因数．
（2）P在Q上向右做匀减速运动，Q向右做匀加速运动，根据牛顿第二定律，结合运动学公式求出Q与地面的摩擦力，从而求出摩擦力对Q所做的功．
（3）求出P从左圆弧最底端运动到右圆弧最底端动能的减小量，分析出小滑块从右圆弧最底端不能到达左圆弧最底端．再结合牛顿第二定律和运动学公式求出PQ达到共同速度所需的时间和速度，判断出Q的位移大于0.1m，不能达到共同速度，Q向左运动0.1m与左壁碰撞而停止运动，结合速度位移公式求出P的位移，从而确定出P最终停止位置到右圆弧底端的距离．
【解析】
设Q与水平面间的动摩擦因数为μ1，P、Q间的动摩擦因数为μ2
（1）设P到左圆弧最底端的速度为v1，对P从开始运动到左圆弧最底端应用动能定理有：

解得v1=3m/s．
设P到右圆弧最底端的速度为v2，因为P滑上右圆弧轨道恰能滑到最高点，在此过程中，对P应用动能定理有：

P在Q上滑动，对P应用动能定理有：
联立解得v2=2m/s，μ2=0.25．
（2）P在Q上向右做匀减速运动，P的加速度大小为a1=μ2g，方向向左
Q向右做匀加速运动，加速度大小为，方向向右．
设P在Q上运动的时间为t1，应用运动学公式可知，
．
对Q有d-L=，水平面对Q的摩擦力做功为Wf=-μ1（2m）g（d-L）
联立解得：，μ1=0.0625，Wf=-0.125J．
（3）P第一次从左圆弧最底端到右圆弧最底端受到的作用力不变，根据动能定理可知，动能减小量△Ek=μ2mgd=2.5J．
假设P能从右圆弧最底端到左圆弧最底端，到底端时的动能为＜0．
说明小滑块从右圆弧最底端不能到达左圆弧最底端．
假设P、Q可达到共同速度v3，需时间t，则有：v3=v2-a1t=a2t．
解得，t=．
在此过程中Q的运动位移，说明P、Q不可能达到共同速度，Q向左运动0.1m与左壁碰撞而停止运动，P向左运动位移停止运动，P最终停止位置到右圆弧底端的距离为0.8m．
答：（1）P、Q之间的动摩擦因数为0.25．
（2）此过程中水平面对Q的摩擦力所做的功为-0.125J．
（3）P最终停止位置到右圆弧底端的距离为0.8m．