Question

如图所示，在粗糙绝缘的水平面内，存在一竖直向下的磁场区域，磁感强度B沿水平向右的方向均匀增加．若在该磁场区域内建立直角坐标系xoy，则磁感强度B的分布规律可表示为B=kx（x的单位为m，B的单位为T）．有一个长为L、宽为h、质量为m、电阻为R的不变形的矩形金属线圈，在运动过程中始终位于磁场区域内．当它在该平面内运动时，将受到大小恒为 f 的阻力作用．
（1）要让线圈在水平外力F的作用下，从静止开始向右做加速度为a的匀加速直线运动，求F随时间t的变化规律．
（2）若磁场区域以速度v₁水平向左匀速运动，线圈从静止开始释放，求此后线圈运动的最大速度．
（3）若零时刻磁场区域由静止开始水平向左做匀加速直线运动，同时线圈从静止开始释放，已知在经一段足够长的时间后，t时刻磁场区域的速度为v_t，求t时刻线圈的速度．

Answer

（1）线圈向右运动的过程中，左右两边都切割磁感线，而且两边产生的感应电动势大小不等，设线圈的右边导线所在位置的磁感应强度为B1、左边导线所在位置的磁感应强度为B2，线圈中E=B1hv-B2hv=kLhv，求出线圈受到的安培力，由牛顿第二定律求得F与t的关系．
（2）有两种情况：一种线圈所受的安培力小于等于最大静摩擦力，线圈始终静止不动；另一种安培力大于最大静摩擦力，线圈将加速度向左动，最终匀速，速度达到最大．根据安培力与摩擦力平衡，求最大速度．要用线圈与磁场的相对速度求感应电动势．
（3）若零时刻磁场区域由静止开始水平向左做匀加速直线运动，同时线圈从静止开始释放，线圈在安培力的作用下，线圈先向左做加速运动，当线圈与磁场的速度之差恒定时，线圈将做匀加速运动，所以线圈的加速度最终与磁场的加速度相同，根据牛顿第二定律求t时刻线圈的速度．
【解析】
（1）设线圈的右边导线所在位置的磁感应强度为B1、左边导线所在位置的磁感应强度为B2，则E=B1hv-B2hv=kLhv

线圈所受的安培力 FA=（B1-B2）h
由牛顿第二定律可得：F-FA-f=ma
即得  
又  v=at 
得，F随时间t的变化规律为 
（2）若时，线圈将始终静止不动．
    若时，线圈将加速度向左动，最终匀速．
设线圈匀速时的速度为v′，则有    
解得   
（3）线圈的加速度最终与磁场的加速度相同，即  ．  
设t时刻线圈的速度为v″，则
解得
v″=vt-
答：
（1）要让线圈在水平外力F的作用下，从静止开始向右做加速度为a的匀加速直线运动，F随时间t的变化规律为 ．
（2）若磁场区域以速度v1水平向左匀速运动，线圈从静止开始释放，此后线圈运动的最大速度v-．
（3）t时刻线圈的速度为vt-．