Question

如图所示，在倾角θ=30°、足够长的斜面上分别固定着两个物体A．B，相距L=0.2m，它们的质量m_A=m_B=1kg，与斜面间的动摩擦因数分别为和．在t=0时刻同时撤去固定两物体的外力后，A物体将沿斜面向下运动，并与B物体发生连续碰撞（碰撞时间极短，忽略不计），每次碰后两物体交换速度．g取10m/s²．求：
（1）A与B第一次碰后瞬时B的速率？
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历多长时间？
（3）至第n次碰撞时A、B两物体通过的路程分别是多少？

Answer

（1）根据牛顿第二定律分别求出A、B的加速度，得出A、B的运动规律，物体B恰好静止于斜面上，物体A将沿斜面向下做匀加速直线运动． 结合运动学公式求出碰撞前的速度，从而得出碰后瞬间B的速率．
（2）根据匀变速直线运动的位移时间公式求出第一次碰撞所需的时间，结合运动学公式，抓住碰后A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动求出第二次碰撞所需的时间，从而得出从A开始运动到两物体第二次相碰经历的时间．
（3）从第2次碰撞开始，每次A物体运动到与B物体碰撞时，速度增加量均为△v=at2=2.5×0.8m/s=2m/s，抓住碰后速度交换，结合运动学公式求出至第n次碰撞时A、B两物体通过的路程．
【解析】
（1）A物体沿斜面下滑时有mAgsinθ-μAmAgcosθ=mAaA
∴aA=gsinθ-μAmAgcosθ
m/s2
B物体沿斜面下滑时有mBgsinθ-μBmBgcosθ=mBaB
∴aB=gsinθ-μBmBgcosθ

综上分析可知，撤去固定A、B的外力后，物体B恰好静止于斜面上，物体A将沿斜面向下做匀加速直线运动．                             
由运动学公式得A与B第一次碰撞前的速度
由于AB碰撞后交换速度，故AB第一次碰后瞬时，B的速率v'B1=vA1=1m/s
（2）从AB开始运动到第一次碰撞用时
两物体相碰后，A物体的速度变为零，以后再做匀加速运动，而B物体将以vB2=v'B1=1m/s的速度沿斜面向下做匀速直线运动．              
设再经t2时间相碰，则有
解之可得t2=0.8s               
故从A开始运动到两物体第二次相碰，共经历时间t=t1+t2=0.4+0.8=1.2s  
（3）从第2次碰撞开始，每次A物体运动到与B物体碰撞时，速度增加量均为△v=at2=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交换，因而碰后B物体的速度为：
第一次碰后：vB1=1m/s
第二次碰后：vB2=2m/s
第三次碰后：vB3=3m/s
…
第n次碰后：vBn=nm/s
每段时间内，B物体都做匀速直线运动，则第n次碰前所运动的距离为
sB=[1+2+3+…+（n-1）]×t2=m   （n=1，2，3，…，n-1）
A物体比B物体多运动L长度，则
sA=L+sB=[0.2+]m
答：（1）A与B第一次碰后瞬时B的速率为1m/s．
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历了1.2s．
（3）至第n次碰撞时A、B两物体通过的路程分别是[0.2+]m、m，（n=1，2，3，…，n-1）．