Question

图1是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的OO˝轴转动，由线圈引起的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO˝转动的金属圈环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路．图2是线圈的主视图，导线ab和cd分别用它们的横截面来表示．已知ab长度为L₁，bc长度为L₂，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．（只考虑单匝线圈）

（1）线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t时刻整个线圈中的感应电动势e₁ 的表达式；
（2）线圈平面处于与中性面成φ夹角位置时开始计时，如图3所示，试写出t时刻整个线圈中的感应电动势e₂的表达式；
（3）若线圈电阻为r，求线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热．（其它电阻均不计）

Answer

（1）矩形线圈abcd转动过程中，只有ab和cd切割磁感线，先求出转动线速度，根据E=BLv，求出导线ab和cd因切割磁感线而产生的感应电动势，从而写出瞬时表达式；
（2）线圈平面处于与中性面成φ夹角位置时开始计时，则在（1）中的瞬时表达式中加个相位即可；
（3）先求出平均电动势，根据欧姆定律求出平均电流，根据Q=I2RT即可求解．
【解析】
（1）矩形线圈abcd转动过程中，只有ab和cd切割磁感线，设ab和cd的转动速度为v，则
在t时刻，导线ab和cd因切割磁感线而产生的感应电动势均为
E1=BL1v
由图可知   v⊥=vsinωt
则整个线圈的感应电动势为e1=2E1=BL1L2ωsinωt
（2）当线圈由图3位置开始运动时，在t时刻整个线圈的感应电动势为e2=BL1L2ωsin（ωt+φ）
（3）由闭合电路欧姆定律可知
这里的E为线圈产生的电动势的有效值
则线圈转动一周在R上产生的焦耳热为
其中      
于是
答：（1）t时刻整个线圈中的感应电动势e1=BL1L2ωsinωt；
（2）t时刻整个线圈中的感应电动势e2=BL1L2ωsin（ωt+φ）；
（3）线圈每转动一周电阻R上产生的焦耳热为．