Question

如图所示，光滑绝缘的圆管弯成半径为R的半圆形，固定在竖直面内，管口B、C的连线水平．现有一带正电小球从B点正上方的A点自由下落，A、B两点距离为4R．从小球进入管口开始，整个空间中突然加上一个匀强电场，结果小球在管中运动过程的速度逐渐减小．小球从管口C处脱离圆管后，其运动轨迹最后经过A点．设小球运动过程带电量没有改变，重力加速度为g，求：
（1）所加的匀强电场的方向．
（2）小球经过管口C处时对圆管的压力．

Answer

（1）小球从A开始自由下落到到达管口B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，可求出小球到达B点时的速度大小；小球在管中运动过程的速度逐渐减小，说明小球所受重力和电场力的合力方向水平向左，根据动能定理得到水平分力与B、C速度的关系．小球从C处离开圆管后，做类平抛运动，竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，则两个方向的位移，由运动学公式和牛顿第二定律结合可水平分力．竖直分力大小等于重力，从而求出所加的匀强电场的方向．
（2）小球经过管口C处时，由电场力的水平分力和管子的弹力的合力提供向心力，由牛顿运动定律求解球对圆管壁的压力．
【解析】
（1）小球自由下落到管口B处，机械能守恒
mg                       
小球在管中运动过程的速度逐渐减小，说明小球所受重力和电场力的合力方向水平向左．设电场力的竖直分力为Fy、水平分力Fx，
Fy=mg（Fy方向竖直向上）           
小球从B运动到C过程，由功能关系有

小球从管口C处脱离圆管后，做类平抛运动，轨迹经过A点，则
y=4R=vCt                        
x=2R=t2                     
联立解得Fx=mg                         
电场力的合力方向与水平方向成θ角，则
tan                    
小球带正电，匀强电场的方向与电场力方向相同，因此所加匀强电场的方向向左上方，与水平方向间的夹角
θ=45°                          
小球经过管口C处时，向心力由Fx和圆管的压力N提供，设压力N的方向向左，即

解得：N=3mg（方向向左）          
小球经过管口C处时，对圆管的压力
N′=3mg（方向向右）  
答：（1）匀强电场的方向向左上方，与水平方向间的夹角为45°；
（2）小球经过管口C处时对圆管的压力为3mg，方向向右．