Question

如图所示，质量为M=400g的铁板固定在一根轻弹簧上方，铁板的上表面保持水平．弹簧的下端固定在水平面上，系统处于静止状态．在铁板中心的正上方有一个质量为m=100g的木块，从离铁板上表面高h=80cm处自由下落．木块撞到铁板上以后不再离开，两者一起开始做往复运动．木块撞到铁板上以后，共同下降l₁=2.0cm的时刻，它们的共同速度第一次达到最大值．又继续下降了l₂=8.0cm后，它们的共同速度第一次减小为零．空气阻力忽略不计，弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）弹簧的劲度系数k．
（2）从木块和铁板共同开始向下运动到它们的共同速度第一次减小到零的过程中，弹簧的弹性势能增加了多少？

Answer

（1）M静止时，根据平衡条件列式；速度最大时，M、m组成的系统加速度为零，根据平衡条件列式；然后联立求解．
（2）m先自由落体，根据动能定理求解出碰撞前的速度；碰撞过程动量守恒，根据守恒定律求解出碰后速度；根据机械能守恒定律求解弹性势能的增加量．
【解析】
（1）M静止时，设弹簧压缩量为l，则
Mg=kl0 ①
速度最大时，M、m组成的系统加速度为零，则
（M+m）g-k（l+l1）=0     ②
联立①②解得：k=50N/m      ③
（2）m下落h过程中，mgh=mv2                      ④
m冲击M过程中，m与M系统动量守恒：m v=（M+m）v       ⑤
所求过程的弹性势能的增加量：
△E=（M+m）g（l1+l2）+（M+m）v2 ⑥
联立④⑤⑥解得：△E=0.66J   
答：（1）弹簧的劲度系数k为50N/m．
（2）从木块和铁板共同开始向下运动到它们的共同速度第一次减小到零的过程中，弹簧的弹性势能增加了0.66J．