Question

曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说明曲线弯曲的程度越高；曲率半径相同，曲线弯曲程度相同．如图所示，发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运动，后让卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道2上运动，最后让卫星进入同步轨道3做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步轨道的半径为r，卫星的质量为m．当质量为m的卫星离地心的距离为r时，其引力势能的表达式为E_p=-（式中M为地球质量），不计近地轨道距地面的高度．
（1）求卫星在近地轨道的线速度v₁，和在同步轨道的线速度v₃．
（2）卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，圆周运动的半径可用近、远地点处的曲率半径ρ（未知）来表示，求卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率”：和远地点的速率v₂′之比．
（3）需要给卫星提供多少能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上？

Answer

（1）卫星环绕地球运动时，由万有引力提供向心力，即可由牛顿第二定律列式求出卫星的速度；
（2）由题，卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，根据万有引力等于向心力求速度．
（3）卫星沿椭圆轨道2运动时，机械能守恒，先求出卫星在近地点的引力势能，得到机械能，再求出卫星沿轨道3运动时的机械能，即可根据能量守恒求解．
【解析】
（1）根据万有引力提供向心力，
对于近地卫星，由于卫星贴近地球表面，则
     G=m  ①
对于同步卫星，有
    G=m  ②
又对于物体在地球表面时，万有引力近似等于重力，则有
    m′g=G  ③
由①②③解得，v1=，v3=
（2）由题，卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，则得
    v1′=v1，r2′=v2，
所以v1′：v2′=：=：  
（3）卫星在椭圆轨道2上近地点处，有 引力势能为Ep1=-，动能为Ek1==•=
轨道3上卫星的引力势能为  Ep2=-，动能为Ek2==
设需要给卫星提供能量为E时，能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上，根据能量守恒得：
   E=（Ep2+Ek2）-（Ep1+Ek1）=（-+）-（-+）=-++-．
答：（1）卫星在近地轨道的线速度v1为，在同步轨道的线速度v3为．
（2）卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率v1′和远地点的速率v2′之比为：．
（3）需要给卫星提供-++-的能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上．