Question

如图所示，一水平方向的传送带以恒定速度v=2m/s沿顺时针方向匀速转动，传送带右端固定着一光滑的四分之一圆弧轨道，并与弧下端相切．一质量m=1kg的物体自圆弧轨道的最高点由静止滑下，圆弧轨道的半径尺R=0.45m，物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，不计物体滑过曲面与传送带交接处时的能量损失，传送带足够长，取g=10m/s²．
（1）求物体从第一次滑上传送带到离开传送带所经历的时间；
（2）求物体从第一次滑上传送带到离开传送带的过程中，传送带对物体做的功及由于摩擦产生的热量；
（3）求物体从第二次滑上传送带到离开传送带的过程中，传送带对物体做的功及由于摩擦产生的热量；
（4）经过足够长的时间之后物体能否停下来？若能，请说明物体停下的位置；若不能，请简述物体的运动规律．

Answer

（1）根据机械能守恒定律求出滑块滑上传送带的速度，滑上传送带先做匀减速直线运动到零，然后返回做匀加速直线运动达到传送带速度一起做匀速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求出物体从第一次滑上传送带到离开传送带所经历的时间；
（2）根据动能定理通过物体的初末速度，求出物体从第一次滑上传送带到离开传送带的过程中，传送带对物体做的功．根据运动学公式求出相对路程的大小，从而根据Q=f△x求出摩擦产生的热量．
（3）根据机械能守恒定律，物体第二次滑上传送带时的速度为2m/s．通过运动学公式求出运动的时间，从而求出相对路程的大小，通过动能定理求出传送带对物体做功的大小，通过功能关系求出摩擦产生的热量．
（4）物体不会停下来，物体在圆弧轨道和传送带上做周期性往复运动．
【解析】
（1）物体沿圆弧轨道下滑的过程中机械能守恒，设物体滑到传送带右端时的速度为v1，则有：
．
解得v1=3m/s．
物体在传送带上运动的加速度大小为a=．
物体在传送带上向左运动的时间．
向左运动的最大距离．
物体向右运动达到速度为v时，向右运动的距离．
所用的时间，匀速运动的时间．
所以t=t1+t2+t3=1.5+1+0.625s=3.125s．
（2）根据动能定理得，传送带对物体做的功
W==-2.5J．
物体相对传送带滑过的路程
由于摩擦产生的热量Q=μmg•△x=12.5J．
（3）根据机械能守恒定律，物体第二次滑上传送带时的速度为2m/s．
物体先向左做匀减速运动，减速到速度为零，然后向右做匀加速运动，直到速度变为v=2m/s．
时间．
根据动能定理，由于物体从滑上传送带到离开传送带过程中物体的动能没有变化，故传送带对物体所做的功W2=0．
在这段时间内物体相对传送带滑过的路程△x2=vt4=4m
所以由于摩擦产生的热量为
Q′=μmg•△x2=0.2×1×10×4J=8J．
（4）物体不会停下来，物体在圆弧轨道和传送带上做周期性往复运动．