Question

如图所示，静放在水平面上的圆形（半径为R）光滑管道ABC，C为最高点，B为最低点，管道在竖直面内．管道内放一小球，小球可在管道内自由移动，现用一装置将小球锁定在P点，过P点的半径OP与竖直方向的夹角为θ．现对管道施加一水平向右的恒力F，同时解除对小球的锁定，管道沿水平面向右做匀加速运动，小球相对管道仍保持静止．经过一段时间后管道遇一障碍物突然停止运动，小球能到达管道的A点．重力加速度为g，小球大小及管道内释不计．求．
（1）恒力作用下圆形管道运动的加速度；
（2）圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值．

Answer

（1）对小球受力分析，由力的平行四边表及牛顿第二定律可求得管道的加速度；
（2）当管道停止时，小球沿半径方向的速度为零，沿切线的方向速度不变；由运动的合成与分解求得径向速度； 此后由机械能守恒定律及平抛运动的规律可求得小球可能的运动距离．
【解析】
（1）小球受力如图，由力的平行四边形定则及牛顿第二定律得：
mgtanθ=ma；
解得a=gtanθ；
即为恒力作用下的圆形管道运动的加速度；
（2）设圆形管道在运动过程中突然停止前进的速度为v，由匀变速直线运动公式得：v2=2as；
圆形管道停止时，小球沿管道半径方向的速度变为零，沿切线方向的速度保持不变，对速度v沿切向和径向进行分解，则小球速度变为v′=vcosθ；
小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域则可返程到达A点，或从C点飞出做平抛运动到达A点；
若小球能运动到管道右侧圆心上方至最高点C之间的区域，则由机械能守恒得：
m（vcosθ）2=mg（Rcosθ+h），其中0≤h＜R
联立以上相关各式得：≤s＜
若小球从C点飞出做平抛运动到达A点，则由机械能守恒及平抛运动的规律得：
R=gt2，R=vCt
m（vcosθ）2=mgR（1+cosθ）+mvc2
联立以上相关各式得：s=
圆形管道从开始运动到突然停止过程中运动距离的可能值为：
≤s＜及s=