Question

如图所示，两条光滑的绝缘导轨，导轨的水平部分与倾斜部分平滑连接．两导轨间距为L=0.5m．导轨的倾斜部分与水平面成θ=53角．其中有一段匀强磁场区域abcd，磁场方向垂直于斜面向上．导轨的水平部分有n段相同的匀强磁场区域．磁场方向竖直向上，所有磁场的磁感虚强度大小均为B=1T．磁场沿导轨的长度均为L=0.5m．磁场左、右两侧边界均与导轨垂直．导轨的水平部分中相邻磁场区域的间距也为L．现有一质量为m=0.5kg，电阻为r=0.125Ω，边长也为L的正方形金属框PQMN，从倾斜导轨上由静止释放，释放时MN边离水平导轨的高度h=2.4m，金属框滑进磁场abcd时恰好作匀速运动，此后，金属框从导轨的倾斜部分滑上水平部分并最终停停止．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）金属框刚释放时MN边与ab的距离s；
（2）金属框能穿过导轨的水平部分中几段磁场区域；
（3）整个过程中金属框内产生的电热．

Answer

（1）金属框滑进磁场abcd时恰好作匀速运动，受力平衡，对金属线框进行受力分析，运用法拉第电磁感应定律求出感应电动势，求出安培力．运用动能定理研究，可以求出金属框刚释放时MN边与ab的距离s
（2）先运用动能定理求出金属线框刚全部进入水平导轨时的速度．线框进入水平导轨的磁场中后由于受到安培力作用而减速直至速度减为零，线框在穿越任一磁场区域的过程中，通过线框的电量相等，运用动量定理求出线框穿越每一磁场区域速度的变化量，即可求解此题．
（3）整个过程中，金属框的重力势能减小转化为内能，根据能量守恒定律，可以求出整个过程中金属框内产生的电热．
【解析】
（1）设金属线框刚进入磁场区域abcd的速度为v1，则线框中产生的感应电动势E=BLv1
安培力F=BIL=
依题意金属框滑进磁场abcd时恰好作匀速运动，有：F=mgsinθ
线框下滑距离s的过程中，根据动能定理，有：mgssinθ=mv12
联立以上各式解得：s=gsinθ=0.25m
（2）设金属线框刚全部进入水平导轨时速度为v2，线框在倾斜轨道上运动的全过程中，根据动能定理，有：
mg（h+Lsinθ-2Lsinθ）=mv2
解得：v2=6m/s
线框进入水平导轨的磁场中后由于受到安培力作用而减速直至速度减为零，线框在穿越任一磁场区域的过程中，根据动量定理，有：BLt=m△v，即BLq=m△v
又q==
所以，线框在穿越每一磁场区域速度的减少量相同，且△v=
线框在水平导轨上穿越磁场区域的个数
n===1.5
金属框能穿越导轨水平部分中1个完整的磁场区域．
（3）整个过程中，根据能量守恒定律，有：
金属线框内产生的焦耳热Q=mg（h+Lsinθ）=13J．

答：（1）金属线框刚释放时MN边与ab的距离S是0.25m
（2）整个过程中金属线框内产生的焦耳热是13 J．
（3）金属线框能穿越导轨水平部分中1个完整的磁场区域．