Question

如图所示，质量为m的跨接杆可以无摩擦地沿水平的导轨滑行，两轨间宽为L，导轨与电阻R连接，放在竖直向下的匀强磁场中，磁感强度为B．杆从x轴原点O以大小为vo、水平向右的初速度滑行，直到静止．已知杆在整个运动过程中速度v和位移x的函数关系是 v=v-B²L²x/mR．杆及导轨的电阻均不计．
（1）试求杆所受的安培力F随其位移x变化的函数式；
（2）求出杆开始运动和停止运动时分别所受的安培力F₁和F₂；
（3）证明杆在整个运动过程中动能的增量△E_K等于安培力所做的功；
（4）求出电阻R上增加的内能△U．

Answer

（1）杆向右滑行时切割磁感线，产生感应电动势，由E=BLv、I=、F=BIL结合推导安培力的表达式．
（2）刚开始运动时，x=0；停止运动时，v=0，代入第1题的结论，即可求解．
（3）根据题干中v与x的函数关系式，分析安培力F与x的关系，若是线性关系，安培力的平均值等于开始时与末了时安培力的算术平均值，即可求出安培力做功，分析与动能增量的关系．
（4）根据能量转化与守恒定律可知，电阻R上增加的内能△U等于棒克服安培力做功．
【解析】
（1）由E=BLv、I=、F=BIL得
安培力F=  ①
将v和位移x的函数关系式v=v-代入上式得
  F=（v-） ②
（2）开始运动时x=0，则得安培力为F=v．
停止运动时，v=0，安培力Ft=0
（3）由v=v-得，当v=0时，棒运动的位移为x=  ③
由②知F与x成线性关系，安培力的平均值为F平均== ④
则安培力做功为
  W=-F平均x ⑤
将④③式代入⑤W=-
而杆在整个过程中动能的增量△EK=0-=-
故杆在整个运动过程中动能的增量△EK等于安培力所做的功；
（4）根据能量转化与守恒定律可知，电阻R上增加的内能△U等于棒克服安培力做功，则电阻R上增加的内能△U=．
答：（1）杆所受的安培力F随其位移x变化的函数式是F=（v-）；
（2）杆开始运动安培力为v．停止运动时安培力为0；
（3）杆在整个运动过程中动能的增量△EK等于安培力所做的功，证明见上；
（4）电阻R上增加的内能△U为．