Question

如图（甲）所示，小物块m₁与m₂通过一轻弹簧相连，静止于固定的光滑水平长木板上，物块m₁与固定在长木板上的竖直挡板接触．现将小物块m₃正对物块m₁与m₂的方向以初速度v运动，与物块m₂发生无机械能损失的碰撞．已知物块m₁与m₂的质量均为m，物块m₃的质量为m/3，弹簧的劲度系数为k，且下述过程中弹簧形变始终在弹性限度内．

（1）试求在碰后过程中物块m₃的速度和物块m₁的最大速度；
（2）若只将长木板右端抬高，变成倾角为θ的固定斜面，如图（乙）所示，物块m₁、m₂处于静止状态，现让物块m₃从长木板上的A点静止释放，与物块m₂相碰后粘合在一起，为使物块m₂、m₃向上反弹到最大高度时，物块
m₁对挡板的压力恰为零，则A点与碰撞前物块m₂的距离为多大？整个运动过程中弹簧最多比原来增加多少弹性势能？

Answer

（1）物块m3、m2碰撞，碰撞过程中动量守恒和机械能守恒，列出等式，当物块m1的速度最大时，弹簧恢复原长，根据m1、m2和弹簧系统动量守恒列出等式求解
（2）物块m3和物块m2碰撞，动量守恒和机械能守恒，弹簧压缩最大时，整个运动过程中弹簧增加的弹性势能最大，此时物块m2的速度为零，对物块m3和物块m2粘合在一起后与弹簧组成的系统，由功能关系求解．
【解析】
（1）设碰撞后物块m3的速度为v1，m2的速度为v2
碰撞过程中动量守恒，m3v=m3v1+m2v2
又发生无机械能损失的碰撞，
=+
解得：v1=-v，v2=v
即物块m3的速度大小是v，方向水平向右．
物块m1离开挡板时，物块m2的速度大小是v，方向向右．
当物块m1的速度最大时，弹簧恢复原长，设物块m1的最大速度为vm，此时物块m2的速度为v3，
根据m1、m2和弹簧系统动量守恒得
m2=m2v3+m1vm
=+
解得：vm=v
（2）设物块m3和物块m2碰撞前弹簧压缩量为x1，mgsinθ=kx1，
设物块m3开始下滑时离物块m2的距离为L，下落到与物块m2碰前的速度为v4，
根据机械能守恒得
m3gsinθ L=
物块m3和物块m2碰撞，动量守恒，设碰后物块速度为v5
m3v4=（m3+m2）v5
当物块m2向上反弹到最大高度时，物块m1对挡板的压力恰为零，此时弹簧伸长x2=x1．
弹簧的弹性势能相等，碰撞后整个系统机械能守恒，
（m3+m2）=（m3+m2）g•2x2sinθ
解得：L=
弹簧压缩最大时，整个运动过程中弹簧增加的弹性势能最大，此时物块m2的速度为零，对物块m3和物块m2粘合在一起后与弹簧组成的系统，
设静止时弹簧的压缩量为x3，所以（m3+m2）ginθ=kx3
由运动的对称性可知，物块m3和物块m2整体向下运动的最大距离为s=2x3
设弹簧最多增加的弹性势能为△Epm，对物块m3、m2和弹簧组成的系统，由功能关系得
△Epm=（m3+m2）+（m3+m2）g•s•inθ
解得：△Epm=
答：（1）在碰后过程中物块m3的速度和物块m1的最大速度是v；
（2）A点与碰撞前物块m2的距离为，整个运动过程中弹簧最多比原来增加弹性势能．