Question

如图所示，光滑水平面上有两个质量分别为m₁、m₂的小球a、b，球a以水平速度v_o=1m/s向右匀速运动，球b处于静止状态．两球右侧有一竖直墙壁，假设两球之间、球与墙壁之间发生正碰时均无机械能损失，为了使两球能发生、而且只能发生两次碰撞，试讨论两球的质量之比m₁/m₂应满足什么条件．

Answer

发生正碰，根据系统动量守恒和机械能守恒列出等式，根据m1、m2的大小关系进行讨论求解．
【解析】
设球a和球b第一次碰撞后速度分别为v1和v2，取向右为正方向．
由系统动量守恒：m1v=m1v1+m2v2…①
系统机械能守恒得：m1v2=m1v12+m2v22…②
解得：v1=v2=…③
讨论情况分别如下：
（1）、当m1＞m2时，碰后a、b两球均向右运动，当球b与墙壁碰后以速度v2返回，并将与球a发生第二次碰撞，设碰后两球速度分别为v1′，v2′则有：
m1v1+m2（-v2）=m1v1′+m2v2′
m1v12+m2v22=m1v1′2+m2v2′2
解得：v1′=…④
v2′=…⑤
因为m1＞m2，故第二次碰后球b向右运动将再次与墙相碰，并以v2′返回；若要球a和球b不发生第三次碰撞，则应满足 v1′＜0  且v2′≤|v'1|
即 （m1-m2）2-4m1m2＜0  且4m1（m1-m2）≤…⑥
解得：3-2＜＜3+2且1-≤≤1+…⑦
再加上条件m1＞m2   得：1＜≤1+…⑧
（2）、m1=m2时，由①②得v1=0，v2=1m/s球b与墙壁碰后以速度1m/s返回与球a第二次碰撞，碰后a球以1m/s的速度向左运动，b球静止，此后两球不再相碰…⑨
（3）、m1＜m2时，由①②可知v1＜0，v2＞0，即a球向左运动，球b向右运动并与墙壁碰后原速弹回，要使球b与球a发生第二次碰撞，应满足：
v2＞-v1 即：2m1＞-（m1-m2），得＞…⑩
因m1＜m2，故两球第二次相碰后，球a向左运动的速度必大于球b向左的运动速度，此后两球不再发生碰撞．
综合（1）（2）（3）得满足范围：＜≤1+…
答：两球的质量满足范围：＜≤1+．