Question

如图所示，MN、PQ是两块水平放置且长度相同的平行金属板，板间存在磁感应强度为B=1.25T的圆形匀强磁场，圆与两金属板相切．以圆上一点O为原点建立xoy直角坐标系，两板左端M、P在y轴上，圆与y轴的交点为α，Oα=0.2m．质量为m=5×10^-8kg、带电量为q=10^-5C的粒子从α点垂直y轴射入磁场，MN、PQ两板间的电压为0时，粒子的射入速度为v₁，从b点射出磁场，速度方向与x轴成60°角；MN、PQ两板间的电压为U时，粒子以50m/s的速度射入磁场，在磁场中速度方向保持不变，并且粒子恰能从上板边缘离开电场，此后粒子做匀速直线运动．已知粒子的重力大小不计．求：
（1）圆形磁场区的半径大小为多少？
（2）v₁的大小为多少？
（3）MN、PQ两板间的电压U为多少？
（4）粒子离开电场后做匀速直线运动的速度大小为多少？方向如何？

Answer

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何知识定出轨迹圆心，求出圆形磁场区的半径；
（2）由上题，求出粒子的轨迹半径，根据牛顿第二定律求速度v1的大小；
（3）两板间加电压U时，粒子速度方向不变，粒子所受电场力与洛伦兹力二力平衡，由平衡条件列式求出U；
（4）粒子从c点离开磁场后在电场力作用下做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向向上做匀加速运动，由动能定理求粒子离开电场后做匀速直线运动的速度．
【解析】
（1）如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心为d，因为粒子从b点射出磁场的速度方向与x轴成60°角，则∠adb=60°，三角形adb为等边三角形，粒子做圆周运动的半径为R=ad=0.4m------①
ab=ad=0.4m，因为∠aob=90°
所以ab为圆形磁场的直径，磁场区的半径大小为r=0.2m------②
（2）洛伦兹力提供向心力   qv1B=m-------③
解得 v1=100m/s---------④
（3）两板间加电压U时，粒子速度方向不变，粒子所受电场力与洛伦兹力为一对平衡力，
   Eq=Bqv-----------⑤
 又U=E•ab
解得，U=25V---------⑥
（4）粒子从c点离开磁场后在电场力作用下做类平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向向上做匀加速运动，
 mvy2=mv2-mvx2=Uq=6.25×10-5J---------⑦
 mvx2=5×10-8kg×（50m/s）2=6.25×10-5J-----------⑧
解得，vy=vx=50m/s--------------⑨
所以粒子离开电场后做匀速直线运动的速度大小为v=50m/s，方向为与水平面成45°角向右上．----⑩
答：
（1）圆形磁场区的半径大小为0.2m．
（2）v1的大小为100m/s．
（3）MN、PQ两板间的电压U为25V．
（4）粒子离开电场后做匀速直线运动的速度大小为50m/s，方向为与水平面成45°角向右上．