Question

两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间距为l．导轨上面横放着两根导体棒PQ和MN，构成矩形回路，如图所示．导体棒PQ的质量为m、MN的质量为2m，两者的电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒MN静止处于距导轨右端为d处，PQ棒以大小为v的初速度从导轨左端开始运动（如图）．忽略回路的电流对磁场产生的影响．
（1）求PQ棒刚开始运动时，回路产生的电流大小．
（2）若棒MN脱离导轨时的速度大小为，则回路中产生的焦耳热是多少？
（3）若原来回路中靠近MN棒一侧的导轨中串联接有一个恒流电源，该电源使回路中的电流大小始终保持为I（沿PMNQP方向），试讨论MN棒脱离导轨时速度v的大小与d的关系．

Answer

（1）本题中两根导体棒的运动情况：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流，由法拉第电磁感应定律，求出棒PQ产生的电动势，再求出回路产生的电流大小；
（2）ab棒受到的与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速，两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动，由于平行金属导轨位于同一水平面且两棒均可沿导轨无摩擦地滑行，故由两棒组成的系统所受的合外力为零，系统动量守恒mv=2mv，再由能量守恒求出焦耳热的关键；
（3）回路中的电流始终保持为I，则棒PQ和MN所受的安培力大小保持不变．若d足够长，则棒PQ先向右匀减速运动再向左匀加速运动，返回轨道左端时速度大小仍为v，而这个过程棒MN一直向右匀加速运动，使用动量守恒定律和动能定理可以求出结果．
【解析】
（1）由法拉第电磁感应定律，棒PQ产生的电动势E=Blv①
则回路产生的电流大小②
（2）棒PQ和MN在运动过程中始终受到等大反向的安培力，系统的动量守恒，得③
由能量守恒定律，回路中产生的焦耳热为④
解得⑤
（3）回路中的电流始终保持为I，则棒PQ和MN所受的安培力大小保持不变．若d足够长，则棒PQ先向右匀减速运动再向左匀加速运动，返回轨道左端时速度大小仍为v，而这个过程棒MN一直向右匀加速运动，由动量守恒定律得⑥
设这个过程棒MN的位移为x，由动能定理得⑦
解得⑧
讨论：
①当时，棒MN在导轨上一直向右匀加速运动直到脱离导轨，由动能定理得
解得MN棒脱离导轨时的速度⑨
②当时，棒PQ先从导轨左端脱离导轨，棒MN之后保持匀速运动直到脱离导轨，脱离导轨时的速度v=v'2=v⑩
答：（1）PQ棒刚开始运动时，回路产生的电流；
（2）若棒MN脱离导轨时的速度大小为，则回路中产生的焦耳热是；
（3）MN棒脱离导轨时速度v的大小与d的关系．①当时，棒MN在导轨上一直向右匀加速运动直到脱离导轨，由动能定理得
解得MN棒脱离导轨时的速度
②当时，棒PQ先从导轨左端脱离导轨，棒MN之后保持匀速运动直到脱离导轨，脱离导轨时的速度v=v'2=v．