Question

冬季滑雪是人们喜爱的运动，去年12月28日，鸟巢欢乐冰雪季正式全面开放，滑雪高台位于奥林匹克中心区景观大道东侧，雪道倾角θ约10°左右．假设一爱好者和他的雪橇总质量m=75kg，沿足够长的雪道向下滑去，已知他和雪橇所受的空气阻力F与滑雪速度v成正比，比例系数k未知．从某时刻开始计时，测量得雪橇运动的v-t图象如右图中的曲线AD所示，图中AB是曲线AD在A点（坐标为0、5）的切线，切线上一点B的坐标为（4、15），CD是曲线AD的渐近线．g取10m/s²．
（1）请画出人和雪橇整体在下滑过程中的受力图．
（2）试说明人和雪橇从t=0时刻开始，下滑过程中运动的特点．
（3）求空气阻力F与滑雪速度v的比例系数k．

Answer

（1）人和雪橇整体在下滑过程中受到重力、支持力、空气阻力、摩擦阻力．
（2）从图中可以看出，人和雪橇初速度为5m/s，图象的斜率逐渐减小，所以加速度逐渐减小到0，最后匀速运动的速度为10m/s．
（3）从AB的斜率可知，在开始运动时雪橇的加速度大小，根据牛顿第二定律列式，由AD这条渐近线可知，10m/s为其运动的收尾速度，根据平衡条件列式，联立方程即可求得比例系数k和动摩擦因数μ．
【解析】
（1）对人受力分析，受重力、支持力、空气阻力、摩擦阻力．
如图所示：

（2）初速度为5m/s，加速度逐渐减小到0的加速运动，最后匀速运动的速度为10m/s．
（3）从AB的斜率可知，在开始运动时雪橇的加速度大小为a=2.5 m/s2
即有：mgsinθ-kv-μmgcosθ=ma…①
由AD这条渐近线可知，10m/s为其运动的收尾速度（即匀速运动速度），
即有：mgsinθ=μmgcosθ+kvm…②
①②两式联立，得：kvm-kv=ma…③
将v=5m/s、vm=10m/s代入后得k=37.5Ns/m．  
答：（1）如图所示；
（2）人做初速度为5m/s、加速度逐渐减小到0的加速运动，最后匀速运动的速度为10m/s；
（3）空气阻力F与滑雪速度v的比例系数k为37.5Ns/m．