Question

如图甲所示，在同一竖直平面内有两个正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向．一个质量为m的小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差△F_N与距离x关系图象如图乙所示，g取10m/s²，轨道半径为R，不计空气阻力．求：
（1）小球在最高点与最低点对轨道压力差△F_N与距离x的关系式（用题中所给字母表示）．
（2）根据图象提供的信息，确定小球的质量为多少？
（3）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？

Answer

（1）由向心力公式可得出AB两点时的压力，则可求得压力之差的表达式；
（2）由得出的压力之差的表达式，结合图象可以得出物体质量及轨道半径；
（3）由机械能守恒定律及竖直面内的圆周运动临界值可求得x的最大值．
【解析】
（1）小球由最高点到最低点，由机械能守恒定律得
小球在B点时，由牛顿第二定律得 
小球在A点时，由牛顿第二定律得 
化简解得两点的压力差为 
（2）由图象得截距 6mg=6N                                           
解得m=0.1 kg                                                           
（3）因为图线的斜率 
所以 R=2 m                                                             
小球在A点不脱离轨道的条件为 
化简解得x的最大值为 xm=15 m     
答：（1）小球在最高点与最低点对轨道压力差△FN与距离x的关系式为；
（2）根据图象提供的信息，确定小球的质量为0.1kg；
（3）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为15m．