Question

质量M=10kg的B板上表面上方，存在一定厚度的相互作用区域，如图中划虚线的部分，当质量m=1kg的物块P进入相互作用区时，B便有竖直向上的恒力f作用于P，f=kmg，k=51，f对P的作用使P刚好不与B的上表面接触；在水平方向，P、B之间没有相互作用力．已知物块P开始自由下落的时刻，B板向右运动的速度为v=10m/s．P从开始下落到刚到达相互作用区所经历的时间为T=2.0s．设B板足够长，B板与水平面间的动摩擦因数μ=0.02，为保证物块P总能落入B板上方的相互作用区，问：当B刚好停止运动时，P已经回到过初始位置几次？（g=9.8m/s²）

Answer

物体P自由落体运动阶段和减速阶段，物块B的加速度不同，根据牛顿第二定律求解出两过程B的加速度，然后根据速度时间关系公式求解末速度，并进一步得到速度的改变量；物体P从最低点返回到最高点过程与下降过程具有对称性，即从最高点释放到返回最高点是一个最小周期，此后重复这种过程．
【解析】
根据题意，在物块P从开始下落至刚要进入相互作用区的时间T内，板在摩擦力作用下的加速度
板速度的减少量△v1=aT即△v1=μgT
代入数据，得△v1=0.392m/s
物块P进入相互作用区后，便受到板的向上作用力，因而做减速运动．
物块P刚进入相互作用区的速度v=gT
设在相互作用区内物块P做减速运动的加速度为a，
则由题给条件可知
经历时间T，物块刚要到达B板上表面，则有 v=aT
由以上三式解得
在T时间内，B板受到的摩擦力为  μ（Mg+kmg），
在摩擦力作用下的B板加速度
在这段时间内，B板速度的减少量△v2=a2T
即
代入数据，解得
当物块P的速度减到零后，又开始以加速度a向上做加速运动，经历时间T，跑出相互作用区，在这段时间内，B板减少的速度仍是△v2；
物块P离开相互作用区后，做加速度为g的减速运动，经历时间T，回到初始位置，在这段时间内，B板减少的速度为△v1，以后物块又从起始位置自由落下，重复以前的运动，B板的速度再次不断减少．
总结以上分析可知：
每当物块P完成一次从起始位置自由下落，进入相互作用区后又离开相互作用区，最后回到起始位置的过程中，
B板速度减少的总量为△v=2△v1+2△v2
代入△v=0.8796m/s
设在物块P第n次回到起始位置时刻，B板的速度为vn，则有vn=v-n△v，n越大，vn越小．
设当n=n时，vn已十分小，致使在物块P由n=n到n=n+1的过程中的某一时刻，B板的速度已减至零，
若仍用上式，则表示当n=n时，vn0＞0；当n=n+1时，vn0+1＜0，
即有  v-n△v＞0，v-（n+1）△v＜0
代入有关数据，得 n＜11.37，n＞10.37
因为为整数，故有n=11，即当B开始停止运动的那一时刻，P已经回到过初始位置11次   
答：当B刚好停止运动时，P已经回到过初始位置11次．