Question

如图所示，在一个正方形区域abcd内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v的带正电粒子，v与ad边垂直．已知粒子质量为m，带电量为q，正方形的边长为L，不计粒子的重力．
（1）若要使粒子能从ab边射出磁场，求v的大小范围；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？

Answer

（1）粒子进入磁场中．由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得到半径公式r=，粒子的速度v越大，轨迹半径r越大．粒子从ab边射出磁场时，从a点射出，轨迹半径最小，对应的速度最小，从b点射出，轨迹半径最大，对应的速度最大，根据几何关系求出半径，再由牛顿第二定律求出对应的速度，即可得到速度的范围．
（2）粒子在磁场中运动的周期T=，运动时间t=T，θ是轨迹所对应的圆心角，T是一定的，θ越大，t越大，当θ最大时，t最长．由图知，θ最大为π，则知最长时间为T．
【解析】
（1）当粒子从a点射出时，轨迹半径最小，设为r1．对应的速度最小，设为v1．当粒子从从b点射出时，轨迹半径最大，设为r2．对应的速度最大，设为v2．
根据几何关系得：r1=L，=L2+
则得 r2=
根据牛顿第二定律得：qvB=m
则得v=
故有v1=，v2=
所以要使粒子能从ab边射出磁场，v的大小范围为≤v≤，5qBL4m
（2）粒子运动周期为 T=
当粒子从oa边射出时，转过的圆心角最大，为π．故粒子在磁场中运动的最长时间为t=T=．
答：
（1）要使粒子能从ab边射出磁场，v的大小范围为≤v≤．
（2）粒子在磁场中运动的最长时间为．